Часть 1. Контрольная 2. Вариант 28
.docБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Факультет ФНиДО
Специальность ПОИТ
Контрольная работа № 2
по дисциплине «Высшая математика»
часть 1
Вариант № 28
Выполнил студент: Жукович Игорь Сергеевич
группа 291003
Студенческий билет № 2910028
Контрольная работа № 2. Основы линейной алгебры
Задача 1(48)
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить её тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).
Решение
Для исследования совместности применим критерий Кронекера-Капелли. Для этого составим расширенную матрицу системы для определения её ранга и ранга матрицы коэффициентов:
.
Находим ранг r расширенной матрицы:
.
Отсюда .
Следовательно, система совместна.
1) Решим систему уравнений по формулам Крамера:
Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель:
.
Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители
; ; ,
которые составляем из матрицы коэффициентов путем поочередной замены каждого из столбцов на столбец правой части системы.
Далее по формулам Крамера вычисляем:
Таким образом, система имеет единственное решение , , .
2) При решении системы линейных уравнений методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей.
Составим расширенную матрицу системы: .
Теперь приведём её путем элементарных преобразований к треугольному или трапециевидному виду. Для этого прибавим ко 2‑й строке 1‑ю, умноженную на , к 3‑й строке прибавим 1‑ю, умноженную на . Получим: .
К 3‑й строки прибавляем 2‑ю, умноженную на 3/5 получим
.
Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система совместна и имеет единственное решение. Она сводится к эквивалентной системе линейных уравнений
Отсюда, подставляя во второе уравнение, получим , а из первого уравнения . Итак, , , .
3) Матричный метод:
Определитель основной матрицы системы , значит, система совместна и для матрицы коэффициентов существует обратная матрица. Находим решение по формуле или
,
где , алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Таким образом, обратная матрица к основной матрице системы имеет вид
.
Проверим правильность вычисления обратной матрицы: исходя из определения обратной матрицы, находим
Значит, матричное решение системы имеет вид
Отсюда следует, что , , .
Задача 2(58)
Найти общее решение системы линейных уравнений.
Решение
Находим ранг r расширенной матрицы:
Отсюда .
Таким образом, в данной системе линейных уравнений 2 зависимых и независимая переменные. Перенося слагаемые с х3 , х4, х5 в правую часть (базисный минор образован коэффициентами при х1, х2, по последней матрице записываем систему
Итак, общее решение неоднородной системы линейных уравнений
Задача 3(68)
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Решение
Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:
Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А.
При система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
.
Здесь х3 – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным единице, получим собственный вектор в виде .
Аналогично при система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
.
Здесь х3 – произвольное действительное число, не равное нулю. Соответствующий собственный вектор имеет вид .
Аналогично при система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
.
Соответствующий собственный вектор имеет вид .Таким образом, матрица А имеет три собственных значения , , , а нормированные собственные векторы имеют вид
;;.
Задача 4(78)
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат.
Решение
Составим матрицу данной квадратичной формы и найдём её собственные значения:
.
Корнями характеристического уравнения являются числа и . Им соответствуют собственные векторы и .
Нормируя собственные векторы, получим
и .
Матрица перехода Т к новому базису имеет вид
.
Вводим замену переменных
Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:
.
После преобразования выражения получим
,
или . Введя замену , , получим пересекающиеся прямые