Вариант 10(3,4)

3.Дифференциальное исчисление

130. Найти производную данных функций:

а)

б)

в)

г)

Прологарифмируем обе части уравнения и преобразуем равенство Прологарифмируем обе части равенства

д)

Дифференцируем обе части равенства, учитывая, что у есть функция от х, получим или

140. Найти и

а) y=lnlnx

б) х=2cos³2t

y=sin³2t

Получаем

Находим

Получаем

150. Найти отношение радиуса цилиндра к его высоте, при котором цилиндр имеет при данном объеме V наименьшую полную поверхность.

Площадь полной поверхности цилиндра:

Объем цилиндра: , тогда площадь цилиндра находится по формуле

=0 при ,

S(R)

-

+

S(R)

точка минимума функции , площадь поверхности цилиндра минимальна, тогда соотношение радиуса цилиндра к высоте

160. Провести полное исследование функции и построить ее график

1) Область определения D(y)=

2) Область определения е симметрична относительно начала координат,

y(-x)≠-y(x)≠y(x), то функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Точки пресечения с осями координат

с Ох : у=0 не имеет решения, т.е. точек пересечения с Ох нет;

с Оу: х=0 у= 2 т. (0;2)

4) Асимптоты

Т.к. точек разрыва нет, то график функции не имеет вертикальных асимптот.

Т.к. , то у=0 горизонтальная асимптота

Проверим, существует ли наклонная асимптота

, т.е. наклонной асимптоты нет.

5)Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума

=0 х=-0,5 критическа

у

я точка

+

-

-0,5

у

mах

Функция возрастает на промежутке (-∞;-0,5) и убывает на промежутках (-0,5; ∞), х=-0,5 точка максимума у(-0,5)=

6) Выпуклость, вогнутость функции

=0 при х=-1, х=0,

y''

у

+

-

+

0

-1

Функция вогнута на промежутках (-∞;-1) и (0; +∞) и выпукла на промежутке (-1;0)

По результатам исследования функции строим график.

170. Дана функция . Показать, что

Найдем

, что и требовалось показать.

180. Даны функции и две точки А(1,-3) и В(1,08;-2,94). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значений z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(х₀,у₀,z₀).

1)

2) Будем рассматривать z(B) как частное значение функции при x = 1.09 = x₁, у = -2.94 = у₁. За x₀ принимаем число 1, за у₀ –число -3.

Тогда z(x₀,y₀) = ;

Переведём dx в радианы dx = x₁ – x₀ = 1,08-1=0,08,

dy = y₁ –y₀ = -2,94+3= 0,06

Тогда получим:

 z(x₀,y₀) +(x₀,y₀)dx+(x₀,y₀)dy=12+1*0.08-7*0.06=11.66

Оценим погрешность: %

3) Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(1,2,12). Искомое уравнение имеет вид: .

4. Неопределённый интеграл

190. Найти неопределенные интегралы (в случаях «а» и «б» проверить дифференцированием) :

а)

Проверим результат дифференцированием:

б)

Проверим результат дифференцированием:

в)

Разобьём дробь на множители:

г)

д)

200. Вычислить определённый интеграл:

210. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

220. Вычислить длину первого витка спирали Архимеда .

Длина дуги вычисляется по формуле: .