КР №1,2 Вышка 7 вар

7 вариант

№7

Даны четыре вектора , , и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

, , ,

Решение

3*5*(-4)+4*0*2+(-5)*1*(-3)-2*5*(-3)-(-5)*4*(-4)-1*0*3=

=-60+15+30-80=-95

значит, векторы не компланарны и создают базис.

8*5*(-4)+(-5)*1*17+(-16)*0*2-2*5*17-(-16)*(-5)*(-4)-8*0*1=-95

3*(-16)*(-4)+4*17*2+8*1*(-3)-(-3)*(-16)*2-17*1*3-4*8*(-4)=285

3*5*17+(-5)*(-16)*(-3)+4*0*8-(-3)*5*8-4*(-5)*17-0*(-16)*3=

=275-240+120+340=475

, ,

№17

Даны координаты вершин пирамиды . Найти:

1) длину ребра; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

Решение

1) Найдем координаты (3-5;8-5;4-4)=(-2;3;0)

Найдем длину

2) Найдем угол :

(5-5;8-5;2-4)=(0;3;-2)

3) найдем угол между и гранью :

- угол между и его ортогональной проекцией на плоскость ,

вектор - произведение и , , значит:

(3-5;5-5;10-4)=(-2;0;6)

(18;12;6)

4) Найдем площадь используя геометрический смысл векторного произведения:

5) Найдем объем пирамиды:

6) Уравнение прямой:

, где

7) Уравнение плоскости:

8)Искомое уравнение прямой получим из канонических уравнений прямой, где точка - точка лежащая на искомой прямой, m,n,p – координаты вектора , параллельного искомой прямой. В качестве точки возьмем , а в качестве вектора - нормальный вектор плоскости - вектор , то есть :

9) Сделаем чертеж:

№27

Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(0;1) вдвое меньше расстояния от прямой y=4.

Решение

Формула для нахождения расстояния от искомой линии до точки А будет вида:

,

до прямой y=4:

,

так как должна быть в два раза больше , то получим уравнение:

, возведем в квадрат обе части уравнения, получаем

- это каноническое уравнение гиперболы с полуосями

и 2 и центром в начале координат.

№37

Доказать совместимость данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гауса; 2) средствами матричного исчисления:

1) Проверим совместимость данной системы:

1*(-5)*(-1)+2*3*2+3*7*1-2*(-5)*1-3*2*(-1)-7*3*1=330

Следовательно система совместима.

2)решим систему методом Гауса:

из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 3;

а из 3-й – 1-ю умноженную на 2, получим:

3) Решим систему средствами матричного исчисления:

так как определитель , то находим решение по формуле

или ,

Проверим правильность вычисления обратной матрицы:

, следовательно, обратная матрица верно вычислена.

Значит, матричное решение имеет вид:

Следовательно .

№47

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Решение

Находим ранг основной матрицы системы с помощью элементарных преобразований:

Ранг матрицы равен 2

Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системы n-r=2.

Преобразованная система, эквивалентная исходной, имеет вид:

,

Эти формулы дают общее решение. В векторном виде его можно записать следующим образом:

,

Где и - произвольные числа. Вектор-столбцы и

образуют базис пространства решений данной системы.

№57

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Решение

Составим характеристическое уравнение матрицы:

получим что и ,

При :

.

При :

,

.

№67

Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм:

Решение

Левая часть уравнения представляет собой квадратичную форму с матрицей

. Решаем характеристическое уравнение

, то есть

Получим что и .

При

,

При

, .

Нормируем собственные векторы:

,

Составим матрицу перехода от старого базиса к новому:

,

Последнее уравнение есть каноническое уравнение элипса.

№77

Построить график функции преобразованием графика функции :

Решение

Рассмотрим данную функцию по частям относительно :

- график данной функции будет симметричен графику относительно оси ОХ;

- график данной функции будет иметь вершины в точках и ;

- период данной функции будет ;

- график данной функции будет смещен влево на .

Собирая воедино все выше рассмотренные отличия данной функции получим:

- график данной функции будет симметричен графику относительно оси ОХ, будет иметь вершины в точках и , период данной функции будет , график данной функции будет смещен влево на .

№87

Данная функция на отрезке . Требуется : 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежутки , начиная от ; 2)Найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.

Решение

Составим таблицу.

Из таблицы видно, что при .

Для построения линии проведем радиус-векторы, соответствующие углам , взятым с интервалам .

На каждом из этих радиус-векторов откладываем отрезки, равные значению при соответствующем значении из таблицы. Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии;

2) Подставляя и в уравнение заданной линии, получаем

Полученное уравнение есть уравнение параболы с вершиной А(0;2.5), ветви параболы направлены вниз.

№97

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

Решение

а) , подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности . Разделим числитель и знаменатель на :

, так как , то дроби – бесконечно малые числа, ими можно пренебречь.

б) , подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности . Умножим числитель и знаменатель на :

.

в) , подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности . , пусть t=3x:

.

г)

Разделим числитель и знаменатель на , так как , то дроби – бесконечно малые числа, ими можно пренебречь:

.

№107

Заданы функция и два значения аргумента и . Требуется 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

, ,

Решение

1)При , - функция непрерывна;

При , - функция неопределенна.

2) при приближении к точке разрыва справа:

;

при приближении к точке разрыва слева:

3)

№117

Задана функция различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение

Функция непрерывна на ;

Функция х непрерывна на ;

Функция 0 непрерывна на ,

значит непрерывна на интервалах .

Исследуем точки x=0 и x=2:

- функция непрерывна;

- точка разрыва.

Видим, что односторонние пределы функции в точке х=2 существуют, но не равны между собой. Следовательно эта точка является точкой разрыва первого рода.