контрольная работа №1
.doc
Элементы векторной алгебр и аналитической геометрии
Задачи 1-10. Даны векторы a,b,c,d. Для указанных в пп. 1-3 векторов требуется: 1) вычислить скалярное произведение векторов из пункта; 2) найти модуль векторного произведения векторов; 3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов; 4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис; 5) найти координаты вектора d в этом базисе.
1., , ,;
1) 3a, 2c; 2) b, -4c; 3) a, c.
1) вычислить скалярное произведение векторов из пункта
Ответ: - 48
2)
Обозначим векторное произведение векторов и через m
, 0<φ<180
ответ:
3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов
Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов:
В координатной форме должны выполняться равенства
так как , то данные вектора не являются коллинеарными.
Условие ортогональности векторов
Следовательно, вектора a и c не являются ортогональными.
4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис
,
Векторы , и образуют базис, если они линейно независимы
Матрица системы векторов имеет вид:
Вычислим определитель этой матрицы:
Значит, ранг матрицы равен 3 и вектора линейно независимы и образуют базис.
5) найти координаты вектора d в этом базисе.
найдем разложение вектора по базису
Вектор представляется единственным образом в виде
В координатной форме имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными:
Решим систему по правилу Крамера.
; ;
Ответ:
Задачи 11-20. Даны вершины A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) треугольника ABC. Требуется найти:
1) уравнение стороны AB;
2) уравнение высоты CH и длину этой высоты;
3) уравнение медианы AM;
4) точку N пересечения медианы AM и CH;
5) уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;
6) внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C.
11. A(-2,4), B(3,1), C(10,7).
1) уравнение стороны AB
Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки, имеет вид:
Ответ: 3y+5y – 14 = 0
2) уравнение высоты CH и длину этой высоты;
прямая СH перпендикулярна АВ
Условие перпендикулярности прямых: , где – их угловые коэффициенты.
Найдем угловой коэффициент прямой АВ:
,
- угловой коэффициент прямой СН.
Составим уравнение прямой СН по точке С(10;7) и угловому коэффициенту
- уравнение прямой СН.
Найдем координаты точки пересечения прямых АВ и СН
H (
Найдем длину высоты СН:
Ответ:
3) уравнение медианы АМ
М – середина отрезка ВС, В(3;1), С(10;7)
Координаты середины отрезка находим по формулам:
,
M=(
Составим уравнение прямой АМ по двум точкам:
, ,
- уравнение медианы АМ Ответ: y=4
4) точку N пересечения медианы AM и CH;
координаты точки N пересечение медианы АМ и высоты СН находим, решая систему уравнений:
N=(8,2;4)
Ответ: N (8,2;4)
5) уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;
условие параллельности прямых:
Угловой коэффициент прямой АВ равен ( из пункта 2) значит, угловой коэффициент искомой прямой по точке
Составим уравнение прямой по точке С(10;7) и угловому коэффициенту :
- уравнение прямой параллельной АВ и проходящей через точку С
Ответ:
6) внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C.
Внешний угол при вершине С – это угол между векторами и
Ответ: ;
Задачи 21-30. Составить канонические уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по известным из условий 1 – 3 параметрам. Через a и b обозначены большая и малая полуоси эллипса или гиперболы, через F – фокус кривой, – эксцентриситет, 2 c – фокусное расстояние, – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, A, B– точки, лежащие на кривой.
21.
1) Эллипс b=15 – малая полуось эллипса, F(-10;0) – фокус эллипса
Отсюда имеем b=15 c=10
Уравнение эллипса имеет вид:
Ответ:
2) гипербола
a - большая полуось гиперболы
- эксцентриситет гиперболы
Имеем: a=13
Уравнение гиперболы имеет вид:
Ответ:
3) Парабола D : x= - 4
D- директриса кривой
Ответ:
Задачи 31-40. Даны четыре точки A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), A3(x3,y3,z3), A4(x4,y4,z4). Требуется найти:
1) уравнение плоскости A1A2A3;
2) уравнение прямой, проходящей через точку A4, перпендикулярно плоскости A1A2A3;
3) расстояние от точки A4 до плоскости A1A2A3;
4) синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3;
5) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3.
31. A1(3,-1,2), A2(-1,0,1), A3(1,7,3), A4(8,5,8).
1) найти уравнение плоскости A1A2A3;
уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеют вид:
Ответ:
2) уравнение прямой, проходящей через точку A4, перпендикулярно плоскости A1A2A3;
A4(8,5,8)
Уравнение плоскости A1A2A3 имеет вид:
- вектор перпендикулярный плоскости, следовательно, это направляющий вектор искомой прямой.
Уравнение прямой имеет вид:
где ()- координаты точки на прямой,
(m,n,p)-координаты направляющего вектора.
Ответ:
3) расстояние от точки A4 до плоскости A1A2A3
A4(8;5;8) Уравнение плоскости A1A2A3:
Расстояние от точки до плоскости находится по формуле:
Ответ:
4) синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3
Составим уравнение прямой A1A4: : А1(3;-1;2),А4(8;5;8) по формулам:
Уравнение плоскости A1A2A3:
Ответ:
5) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3.
Уравнение плоскости Oxy : z=0
Уравнение плоскости A1A2A3 :
Ответ: