Контрольная работа №1 часть 1 вариант 4

УЧЕРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет непрерывного и дистанционного обучения

Специальность: Программное обеспечение информационных технологий

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ №1

Вариант №4

Бадюли Андрея Викторовича

группа 901021

Зачетная книжка № 901021-04

Электронный адрес: [e-mail]

1—10. Даны четыре вектора (а₁, а₂, а₃), (b₁, b₂, b₃),

(c₁, c₂, c₃) и (d₁, d₂, d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

4. (1,3,5), (0,2,0), (5,7,9), (0,4,16).

Базисом в R являются любых три некомпланарных вектора. Условием компланарности трёх векторов является равенство их смешанного произведение нулю.

Находим

Значит, векторы образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде:

Отсюда имеем: .

Таким образом:

.

11—20. Даны координаты вершин пирамиды A₁A₂A₃A₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертёж.

14.А₁(2,4,3), А₂(7,6,3), А₃(4,9,3), А₄(3,6,7).

1)

Подставляем:

2)

: (5;2;0) : (1;2;4)

3)

- нормальный вектор плоскости

это следует из определения векторного произведения

: (5;2;0) : (2;5;0)

4)

5)

6) Каноническое уравнение прямой

7) Уравнение плоскости по трём точкам

- общее уравнение плоскости

8) Искомые уравнения высоты получим из канонических уравнений прямой

, где

- точка лежащая на искомой прямой, а - координаты , параллельного прямой. При этом в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , в качестве точки - точку

Сделаем чертеж

24.Вычислить координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами A(-1,1), B(2,-1), C(4,0).

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров

найдем уравнения прямых и

Найдем координаты точки - середины

,

,

Составим уравнение :

направляющий вектор для будет нормальным для прямой , так как

Находим уравнение прямой по точке и нормальному вектору

Найдем координаты точки - середины

,

Составим уравнение

- направляющий вектор для будет нормальным бля прямой , так как

Находим уравнение прямой по точке и нормальному вектору

Так как составим систему

31—40. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств.

34.

Чтобы решить неравенство

1 , рассмотрим прямую . Она проходит через две точки и аналогично для неравеств

2

3

Точка не удовлетворяет неравенству 1, значит, ему удовлетворяют все точки лежащие ниже прямой и на самой прямой.

Аналогично удовлетворяет неравенству 2,значит, удовлетворяют ему точки лежащие ниже прямой и на самой себе.

Найдем точку пересечения прямых

Решаем неравенство 3. Точка не удовлетворяет этому неравенству, поэтому его решение является множество точек плоскости выше прямой

Найдем точку пересечения прямых

Найдем точку пересечения прямых

; ;

Данной системе удовлетворяют все точки внутри и на его границе

44.Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке A(1,0), чем к точке B(-2,0).

Расстояние между двумя точками и определяется по формуле

Пусть точка - точка искомой прямой

тогда:

(по условию)

Это уравнение окружности радиуса и с центром в точке