контрольная работа №1 - вариант 2 - 1й семестр

Контрольная работа № 1

Вариант 2

Задание 1-10. Даны три комплексных числа и

1) выполните действия над ними в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2) найдите расстояние между точками и на комплексной плоскости.

2.

Решение:

1. Найдем значение в алгебраической форме

Найдем значение в тригонометрической форме

Вычислим значение в показательной форме

2) Найдем расстояние между точками и на комплексной плоскости:

Задания 11 – 20. Решите уравнение на множестве комплексных чисел.

12.

Решение.

Сделаем замену z²=t, получим уравнение:

t²+2t+2=0

t₁=-1-i t₂=-1+i

Приведем числа к тригонометрической форме

Задания 21 – 30. Решите систему уравнений тремя способами:

1) методом Крамера;

2) методом обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

22.

Решение.

1)Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:

Так как данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.

Тогда решение системы находим по формулам:

х₁ = = -1; х₂ = = 4; х₃ = =1

2. Решим систему линейных уравнений матричным методом.

Обозначим A = , X = , B = . Тогда данную систему можно записать в виде: АХ=В. Т.к. матрица невырожденная (Δ=-2), то X = A^-1B.

Вычислим обратную матрицу .

Определитель

Тогда A^-1 =

Получим X = A^-1B == =

3)Для решения системы методом Гаусса приведем матрицу к треугольному виду

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

= [поменяем местами первую и вторую строчки] = = [умножаем первую строчку на -3 и складываем со второй, умножаем первую на -4 и складываем с третьей] = = умножаем вторую строку на - и складываем с третьей] =

Получаем систему:

Получаем х₁=-1, х₂=4, х₃=1.

Ответ: х₁=-1, х₂=4, х₃=1

Задания 31 – 40. Даны три вектора и Докажите, что векторы образуют базис, и определите, какая это тройка векторов: правая или левая.

32.

Решение.

Векторы a, b, c образуют базис в пространстве R³ в том случае, если равенство a + b + c = 0 выполняется лишь тогда, когда  =  =  = 0.

Рассмотрим это условие:

(1;-1;-2) + (2;1;-1) + (3;-4;1) = (0;0;0) или

Рассмотрим матрицу данной системы и приведем ее к треугольному виду:

Умножим первую строку на 2 и сложим с третьей, сложим первую строку со второй ; Умножим вторую строку на –1 и сложим с третьей

Так как число ненулевых строк в треугольной матрице равно числу переменных, то система имеет единственное решение, а именно  =  =  = 0. Значит, векторы a, b, c образуют базис.

Найдем смешанное произведение векторов

Cмешанное произведение векторов не равно 0, то образуют базис, и так как >0, то тройка векторов является правой.

Задания 41 – 50. Даны координаты вершин треугольной пирамиды Найдите:

1) угол между ребрами и

2) площадь грани

3) длину высоты, опущенной из вершины на грань

4) уравнение прямой, проходящей через ребро

5) уравнение плоскости, которой принадлежит грань

6) массу материальной треугольной пирамиды изготовленной из меди плотностью (считая, что 1 масштабная единица в системе координат равна 1 см).

42.

1. Известно, что косинус угла меду двумя векторами и определяется по формуле

Координаты вектора (-1; 2;4) , (-1; -3; 4)

2. площадь треугольника, построенного на векторах и вычисляется по формуле .

А₁А₂ (–1; 2; 4),

А₁А₃ (1–3; 2–1; 3–(–3))

А₁А₃ (–2; 1; 6)

Векторное произведение векторов

(ед. кв.)

3)Найдем уравнение плоскости А₁А₂А₃

или

-уравнение плоскости основания А₁А₂А₃

4)Расстояние от т.А₄(2;-2;1) до плоскости А₁А₂А₃ находится по формуле

5) Уравнение прямой А₁А₂

искомое уравнение

6) Вычислим объем пирамиды А₁А₂А₃А₄

(ед³)

Масса материальной треугольной пирамиды изготовленной из меди плотностью

г.

Задания 51 – 60. Изобразите геометрическое место точек, заданных уравнением:

1) на плоскости;

2) в пространстве.

52.

1) Преобразуем выражение к виду

Это уравнение задает параболу с осью симметрии параллельную Оу и вершиной в точке (3;-2).

2) В пространстве 3то уравнение параболического цилиндра