КР №3 высшая математика 1 курс
.docxМинистерство образования республики Беларусь
Учреждение образования
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»
Институт информационных технологий
Специальность_________________________________
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
По курсу_____________________________________
Вариант №_____
Студент-заочник___ курса
Группы №______________
ФИО __________________
_______________________
Адрес__________________
_______________________
Тел. ___________________
Минск, 2010
Таблица ответов к задачам контрольной работы
Задача 1
|
Задача 2
|
Задача 3
|
|
Задача 4
|
|
Задача 5
|
|
Задача 6
|
|
Задача 7
|
Задача 8
|
Задача 9
|
Задача 10
|
Задача №1.
Написать (а) уравнение касательной плоскости и нормали в точке () к поверхности S, заданной уравнением ; Вычислить (б) grad(z) в точке и (в) производную функции в точке по направлению вектора .
Решение:
а) Найдем уравнение касательной плоскости и нормали в точке к поверхности S по формулам:
Найдем частные производные функции и их значения в точке
Тогда уравнение касательной плоскости примет вид:
б) Найдем grad z в точке по формуле:
Получим:
в) Найдем производную функции z в точке M0 по направлению вектора по формуле:
Задача №2.
Вычислить (а) двойной интеграл по облачти D, ограниченной
Вычислить (б) объем тела, ограниченного поверхностями:
Решение:
а)
Найдем координаты точек пересечения кривых
Сделаем чертеж области интегрирования Д:
y
1
0
Пределы интегрирования примут вид:
Перейдем от двойного интеграла к двукратному по и вычислим его:
б) Сделаем чертеж тела, ограниченного указанными поверхностями:
1
Z=0
1
0
2
x
y
z
1
Вычислим объем тела при помощи тройного интеграла в цилиндрических координатах:
Проекция тела на плоскость имеет вид:
Пределы интегрирования имеют вид:
Получим:
Задача №3.
Применяя формулу Тейлора для функции нескольких переменных вычислить значение 1,002*2,0032*3,0043. Использовать члены разложения до второго порядка включительно.
Решение:
Рассмотрим функцию переменных:
Воспользуемся формулой Тейлора для функции переменных 2го порядка для приближенного нахождения значения функции при:
Тогда:
Задача №4.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции
.
Решение:
Д: .
Сделаем чертеж области Д:
Найдем частные производные 1го порядка функции
Найдем стационарные точки функции:
- стационарная точка,
Исследуем функцию
-
AB:
-
BC:
-
CD:
-
AD:
Так как функция может принимать наибольшее и наименьшее значения в области Д либо в стационарных точках внутри области Д, либо на ее границе, то выберем наибольшее и наименьшее значения функции среди найденных:
Задача №5.
Для уравнеия . (За принять корень с положительной мнимой частью.) Для них вычислить:
-
,
,
-
все значения .
Решение:
Воспользуемся формулой:
Задача №6.
Рассчитать интеграл от функции комплексного переменного по пути как криволинейный. Результат проверить с помощью интегральной формулы Коши или подсчета суммы вычетов.
Решение:
1 способ
2 способ
- полюс первого порядка;
Задача №7.
Поверхность задана параметризацией Найти на этой поверхности точки, в которых касательная плоскость параллельна плоскости . В ответ записать уравнения касательных плоскостей в этих точках.
Решение:
Перейдем к новым координатам
,
.
В новых координатах плоскость будет иметь вид
.
А радиус вектор поверхности:
.
Нетрудно видеть, что в новых координатах мы получаем единичную сферу, неявное уравнение которой имеет вид
.
Нормаль к сфере имеет вид:
.
С учетом того, что , уравнение единичной нормали будет иметь вид:
.
Для того, чтобы касательная плоскость к поверхности была параллельна заданной плоскости, очевидно необходимо, что был коллинеарен вектору .
Таким образом, получим:
, , .
Эти значения определяют одновременно и компоненты нормали к сфере, и точки на сфере в которых выполняется требуемое условие.
Т.е. существует две касательные плоскости, параллельные данной (это понятно и из геометрических соображений). Уравнения этих плоскостей легко найти, зная их нормали, и точки через которые они проходят:
.
Или, возвращаясь к старым координатам
.
Задача №8.
Найти общее решение дифференциальных уравнений
(а) (б) .
Решение:
(а)
Это дифференциальное уравнение 2го порядка, не содержащее явным образом искомой функции
Пусть
Уравнение примет вид:
Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, получим:
Учитывая, что получим:
Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, получим:
- общее решение искомого уравнения.
б)
Это дифференциальное уравнение 2го порядка, не содержащее независимой переменной .
Пусть
Уравнение примет вид:
Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, получим:
Представим дробь в виде суммы простейших дробей:
Тогда:
Учитывая, что получим:
Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, получим:
Задача №9.
Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее условиям:
Решение:
Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее решение найдем по формуле:
Где – общеерешение однородного уравнения,
- частное решение неоднородного уравнения.
Составим характеристическое уравнение:
Тогда:
Будем искать в виде:
Подставим
Тогда:
Общее решение имеет вид:
Найдем
Воспользуемся данными начальными условиями:
Тогда частное решение примет вид:
Или
Задача №10.
С помощью характеристического уравнения найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Представить данную систему и ее решение в матричном виде.
Решение:
Запишем систему в матричной форме:
Будем искать частное решение в виде
Составим характеристическое уравнеие матрицы системы:
Находим из системы уравнений:
При получим
Пусть , тогда
Таким образом, характеристическому числу соответствует частное решение
При получим:
Пусть , тогда
Характеристическому числу соответствует частное решение:
Общее решение системы находим как линейную комбинацию полученных частных решений, т.е.:
Или в матричной форме: