курс 1, КОНТРОЛЬНАЯ 1, Вариант № 5
.docУЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛАРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет заочного и дистанционного обучения
Специальность: Программное обеспечение информационных технологий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 1
Вариант № 5
ФИО
Группа
Зачетная книжка:
Электронный адрес:
Задача 5: Даны четыре вектора , , и , заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
; ; ; .
1) Найдем вектор
Так как скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат, то
2) По аналогии с пунктом 1 найдем вектор . Тогда векторное произведение найдем по формуле
3) Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим:
Значит, векторы некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде , где координаты вектора в базисе
Значит, .
Задача 15: Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.
; ; ; .
1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле
,
где координаты точки , координаты точки .
Таким образом, вычисляем:
.
2) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда ; .
3) Угол между ребрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения векторов и .
Находим: ; ;
; ;
.
Поэтому , .
4) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки .
5) Найдем векторное произведение векторов и
.
Отсюда получаем, что
6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а . Имеем .
7) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:
кв.ед.
8) Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , .
Таким образом,
куб.ед.
9) Сделаем чертёж:
Задача 25. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .
Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор Р есть :
.
Решив совместно уравнения L и Р, получим точку N пересечения L с Р:
. Но так как N –середина отрезка , то
.
Таким образом, точка имеет координаты .
Задача 35. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки вдвое больше, чем до прямой .
Обозначим произвольную точку искомой линии как .
Расстояние от М до прямой :
Расстояние между точками АМ:
Тогда по условию получаем:
Это каноническое уравнение гиперболы.