1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Даны векторы a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3), c(c1; c2; c3) и d(d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

a (4;5;2), b (3;0;1), c (-1;4;2), d (5;7;8).

Векторы a, b, c образуют базис в пространстве R³ в том случае, если равенство a + b + c = 0 выполняется лишь тогда, когда  =  =  = 0.

Рассмотрим это условие:

(4;5;2) + (3;0;1) + (-1;4;2) = (0;0;0) или

Рассмотрим матрицу данной системы и приведем ее к треугольному виду:

Умножим первую строку на -5, вторую на 4 и сложим их, умножим третью строку на -2 и сложим с первой ; умножим третью строку на 15 и сложим со второй строкой.

Так как число ненулевых строк в треугольной матрице равно числу переменных, то система имеет единственное решение, а именно  =  =  = 0. Значит, векторы a, b, c образуют базис. Вектор d в базисе a, b, c имеет вид:

₁a + ₁b + ₁c = d.

В расширенном виде:

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (см. предыдущие действия):

Получим систему:

Значит, вектор d в базисе a, b, c имеет координаты d(-1;4;3).

11. Даны координаты вершины пирамиды а1а2а3а4 .Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

8) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(3;1;4), А₂(-1;6;1),А₃(-1;1;6), А₄(0;4;-1)

1. Длина ребра А₁А₂ равна расстоянию между этими точками, которое находится по формуле : А

2. Угол между рёбрами А₁А₂ и А₁А₄ равен углу между векторами А₁А₂ и А₁А₄. Найдём координаты этих векторов.

А₁А₂ =(-1-3;6-1;1-4)=(-4;5;-3)

А₁А₄=(0-3;4-1;-1-4)=(-3;3;-5)

Тогда, если φ угол между векторами А₁А₂ и А₁А₄, то

Тогда

3. Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃ найдём следующим образом: для начала узнаем уравнение грани А₁А₂А₃, затем выпишем нормальный вектор этой грани, найдём угол между нормалью к грани А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄. Тогда искомый угол между гранью А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄ есть разность 90⁰ и полученного последнего угла.

Уравнение плоскости А₁А₂А₃ получим как уравнение плоскости, проходящей через три точки, а именно

или

Значит, нормальный вектор будет иметь координаты N=(1;2;2). Найдём угол между нормалью к грани А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄.

Тогда

Значит, угол между гранью А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄ равен 20,8⁰.

4. Найдём координаты векторов А₁А₂ и А₁А₃.

А₁А₂ =(-1-3;6-1;1-4)=(-4;5;-3)

А₁А₃=(-1-3;1-1;6-4)=(-4;0;2)

Тогда площадь грани А₁А₂А₃ будет равна

ед²

5. Объём треугольной пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на рёбрах А₁А₂ , А₁А₃, А₁А₄. Тогда

(ед³)

6. Уравнение прямой А₁А₂ имеет вид: , где (x₀;y₀;z₀ ) – координаты точки, через которую проходит прямая, а (l;m;n) – координаты направляющего вектора. За координаты (x₀;y₀;z₀ ) можно выбрать координаты точки А₁, а за направляющий вектор взять вектор А₁А₂. Тогда получим:

–уравнение прямой А₁А₂ в симметричном виде.

7. Уравнение плоскости А₁А₂А₃ было найдено в пункте 3), а именно

–уравнение плоскости в нормальном виде.

8. Высота, опущенная из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ имеет своим направляющим вектором нормальный вектор плоскости А₁А₂А₃ , а значит

- уравнение высоты в симметричном виде.

Сделаем чертёж.