Контрольная номер 3 часть 2 Электротехника

Код студента: 20091-1

Условие задачи:

E = 115 В

w = 10000 рад/с

R1 = 120 Ом

R2 = 16 Ом

R3 = 43 Ом

Операторный метод: L=35 мГн C=1,07 мкФ

Индивидуальное задание 2

Операторный метод расчета переходных процессов

В контрольной работе необходимо операторным методом рассчитать переходный ток в индуктивности I_L(t) и напряжение на емкости U_c(t) при следующих условиях:

1. В цепи действует постоянный источник напряжения Е;

2. Ключ К1 разомкнут, а ключ К2 переводится из положения 1 в положение 2;

3. Значения элементов указаны в распечатке;

4. Построить графики i_L(t),U_c(t) от времени.

Решение.

1. Для получения исходных данных контрольной работы необходимо изобразить схему электрической цепи. Для этого вместо R₂, R₂, R₃ на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо C – емкость, вместо L – индуктивность, вместо E – источник ЭДС. Ключ K₁ должен быть разомкнут. Коммутация происходит путем переключения ключа K₂ из положения 1 в положение 2. ЭДС источника равна: E=115 В.

Схема электрической цепи представлена на рисунке 1.

Расчет переходного процесса операторным методом основан на использовании преобразования Лапласа. Это позволяет перейти от непосредственного решения дифференциальных уравнений, описывающих цепь во временной области, к решению алгебраических уравнений в области изображений.

I₁

r₁

I₂

C

r₂

L

r₃

I₃

К₂

E

Рис. 1. Схема замещения электрической цепи по заданию

Расчет переходных процессов операторным методом производится в следующем порядке:

- рассчитывается цепь до коммутации с целью определения независимых начальных условий;

- составляется операторная схема замещения цепи;

- производится расчет операторной схемы замещения, в результате чего определяются изображения по Лапласу искомой функции;

- на основе обратного преобразования Лапласа от найденных изображений переходят к оригиналам.

Расчет переходных процессов в цепи, представленной на рисунке 1, произведем в предложенном порядке.

До коммутации в цепи был включен источник постоянного напряжения. На постоянном токе индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а емкость – бесконечно большим. В эквивалентной схеме цепи для расчета независимых начальных условий, изображенной на рисунке 2, реактивные элементы показаны как короткое замыкание и обрыв.

r₁

I₁

I₂

r₂

I₃

r₃

E

Рис. 2. Эквивалентная схема для расчета независимых начальных условий

Ток в ветви с индуктивностью равен

(А).

Напряжение на емкости равно:

(В).

Согласно законам коммутации, ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться скачком. Следовательно

(А).

(В).

При составлении операторной схемы замещения все элементы цепи замещаются их операторными эквивалентами. Так, индуктивность замещается операторным индуктивным сопротивлением pL, емкость – операторным емкостным сопротивлением ; активное сопротивление не изменяется. При этом ненулевые начальные условия учитываются в цепях с индуктивностью и с емкостью дополнительными источниками ЭДС (рис. 3).

L

pL

Li_L(0+)

i_L(t)

i_L(p)

i_C(t)

i_C(p)

Рис. 3. Преобразование реактивных элементов с начальными условиями

Операторная схема замещения послекоммутационной цепи для рассматриваемого примера, построенная в соответствии с изложенным выше, приведена на рисунке 4.

r₁

I₁₁(p)

r₂

I₂₂(p)

I₃

r₃

pL

Рис. 4. Операторная схема замещения цепи

Для расчета операторной цепи может быть применен любой известный метод: метод узловых потенциалов, метод наложения, метод контурных токов и т.д. Однако целесообразно использовать метод контурных токов, который при надлежащем выборе независимых контуров обеспечивает наиболее быстрое получение конечного результата.

Выберем независимые контуры таким образом, чтобы общая ветвь содержала только сопротивление r₁. Тогда контурные токи I₁₁(p) и I₂₂(p) будут равны изображениям токов в емкости и индуктивности.

Уравнения, описывающие цепь на рисунке 5 по методу контурных токов, запишем в виде

Решая полученную систему с помощью определителей, получим

Разделив числитель и знаменатель в двух последних выражениях на CL(r₁+r₂) и подставив численные значения, получим

Емкость на операторной схеме замещения цепи изображается операторным сопротивлением и источником ЭДС, учитывающим ненулевые начальные условия. Поэтому выражение для операторного напряжения на емкости запишется в виде

После подстановки получим

Для перехода от найденных операторных изображений токов и напряжений к оригиналам воспользуемся теоремой разложения. Если изображение по Лапласу искомой зависимости представлено в виде отношения двух полиномов

то оригинал находится по выражению

,

где p_k – к-й корень характеристического уравнения N(p)=0;

n – порядок характеристического уравнения;

- производная полинома N(p).

Ток в индуктивности равен I₃(p)=I₂₂(p), поэтому токи в индуктивности i₃(t) запишем

M(p) = 0.7055p + 2714;

N(p) = p² + 8504p + 32003456;

= 2p +8504.

Решая характеристическое уравнение p² = 8504p [phone] = 0, находим два корня p₁ = -4252 +j3732 и p₂ = -4252 – j3732. При этом ток в индуктивности i_L(t) в соответствии с теоремой разложения запишется в виде

.

Коэффициенты при экспонентах в случае комплексно-сопряженных корней также будут комплексно-сопряженными, поэтому при суммировании мнимая часть будет равна нулю и ток i₃(t) можно определить как удвоенное значение вещественной части первого или второго слагаемого. Тогда

.

После подстановки в последнее выражение численных значений получим

А.

Переходное напряжение на емкости вычислим, используя полученное раньше изображение U_C(p) и свойство линейности Лапласа. Сумме изображений

U_C(p) = U₁(p) + U₂(p)

будет соответствовать сумма оригиналов

u_C(t) = u₁(t) +u₂(t).

Введем обозначения

Изображению в области будет соответствовать константа

u₁(t) = 84.7 (В).

Оригинал u₂(t) определим используя теорему разложения. Характеристическое уравнение N(p) = 0 имеет три корня: p₁ = 4252 +j3732, p₂ = -4252 – j3732, p₃ = 0.

Следовательно,

.

П

В.

осле подстановки численных значений и выполнения всех преобразований получим

Складывая u₁(t) и u₂(t), находим полное переходное напряжение на емкости

(В).

Длительность переходного процесса равна трем постоянным времени. Постоянная времени определяется как величина, обратная действительной части корня характеристического уравнений и равна

(с).

Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи

(c).

Графики переходных процессов по току i₃(t) и по напряжению на емкости u_C(t) представлены соответственно на рисунках 5 и 6.

Рис. 5. Закон изменения тока индуктивности

Рис.6. Закон изменения напряжения на емкости

7