Контрольная работа вариант 18
.docИсходные данные:
Классический метод:
Рассмотрим схему до коммутации.
Так как в цепи включён источник синусоидального напряжения, расчёт проводим символическим методом.
Реактивное сопротивление индуктивности:
Реактивное сопротивление ёмкости:
Комплексная амплитуда источника:
Комплексное сопротивление цепи относительно источника:
Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:
Комплексную амплитуду напряжения на ёмкости определим по закону Ома:
Мгновенное значение напряжения на ёмкости запишется в виде:
Полагая в последнем выражении t=0-, получим величину напряжения на ёмкости непосредственно перед коммутацией:
По законам коммутации напряжение на ёмкости не может изменяться скачком. Следовательно,
Комплексная амплитуда тока в ветви с индуктивностью:
Мгновенное значение тока в индуктивности запишется в виде:
Полагая в последнем выражении t=0-, получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией:
По законам коммутации ток в индуктивности не может изменяться скачком. Следовательно,
Принуждённые составляющие тока в индуктивности и напряжения на ёмкости определим по данной схеме:
Комплексное сопротивление цепи относительно источника:
Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:
Комплексную амплитуду напряжения на ёмкости определим по закону Ома:
Мгновенное значение напряжения на ёмкости запишется в виде:
Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью
определим по правилу плеч:
Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью запишется в виде:
Замыкаем накоротко зажимы источника ЭДС. Разрываем ветвь с ёмкостью. Комплексное входное сопротивление относительно разрыва запишется в виде
Полагая в последнем выражении j=p, получим:
После выполнения алгебраических преобразований получим характеристическое уравнение второго порядка:
Определим дискриминант квадратного уравнения:
Найдем корни характеристического уравнения:
По виду корней характеристического уравнения записывается свободная составляющая переходного процесса. Так как число корней равно двум и они действительны, то:
Полный переходной процесс в индуктивности равен сумме принуждённой и свободной составляющих:
В последнем уравнении неизвестными являются А1 и А2, следовательно, для их однозначного определения необходимо второе уравнение. Получим его дифференцированием первого:
Полагая в вышеприведённых уравнениях t=0+, получим:
Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t=0+ послекоммутационной схемы:
Выразим первое выражение через третье:
Подставляя численные значения найденных ранее независимых начальных условий i1(0+), uc(0+) и значение e(0+)=0, получим:
Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид:
Постоянные интегрирования будут равны:
Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде:
Переходной процесс по напряжению по ёмкости рассчитывается аналогично. Записываем выражение для uc(t) как сумму двух составляющих:
Принуждённая составляющая переходного процесса определена выше. Свободную составляющую ищем в виде суммы экспонент. С учётом этого:
Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных интегрирования, получим дифференцированием первого:
Полагая в обоих уравнениях t=0+, получим:
Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Определим её значение по выражению:
Значение i3(0+) определим из системы уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t=0+, записанной выше. Тогда:
Уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид:
Решая систему уравнений, определим постоянные интегрирования:
Окончательное выражение для переходного напряжения в емкости запишется в виде:
Окончательные выражения для напряжения в индуктивности и тока в емкости определим по следующим выражениям:
При построении графиков переходных процессов, прежде всего, необходимо определить их длительность. Теоретически переходные процессы длятся бесконечно долго, практически же оканчиваются за время, равное трём постоянным времени tпп=3. За это время свободная составляющая переходного процесса будет иметь значение, составляющее 5% от значения при t=0+.
Постоянная времени определяется как величина, обратная минимальному по модулю корню характеристического уравнения:
Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи:
Построим графики переходных процессов:
Ток в индуктивности:
Напряжение в ёмкости:
Напряжение в индуктивности:
Ток в ёмкости: