Министерство экономики РФ Министерство образовния РФ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
Методические указания по курсу "Линейная алгебра"
для Экономического Направления
Составитель: д.ф.-м.н., профессор Гусятников П.Б.
****************************************************************************************
Домашняя работа №1 ( Решение типового варианта , 1 неделя).
1. А) Для пары матриц вычислите те из матриц
AB, BA, A*B, BA*, AB*, B*A, A*B*, B*A*, A+B, B+A, A*+B, B+A*, A+B*, B*+A, A*+B*, B*+A*, которые определены ( * символ транспонирования матриц).
б) Проделайте те же операции для пары матриц и
в) для пары матриц .
г) Выясните, какие из следующих матричных тождеств верны, а какие – нет (одно из верных тождеств докажите): A+C=C+A; AC=CA; (AC)*=A*C*; (AC)*=C*A*; (A+C)*=C*+A*.
Решение.
а) Произведение двух матриц определено тогда и только тогда, когда длина строки первого сомножителя равна высоте второго.
Размеры матриц:
( длина строки 2, высота столбца 3);
( длина строки 3, высота столбца 2);
( длина строки 3, высота столбца 2);
( длина строки 2, высота столбца 3).
Следовательно, определены следующие произведения и только они: AB, BA, A*B*, B*A*.
Вычислим эти произведения.
Поскольку . Исходя из этого факта, сделаем разметку
для матрицы :
(произведение имеет три строки и три столбца). Заполним ячейки этой матрицы. Покажем, как вычислить, например, элемент матрицы, расположенный во второй строке и третьем столбце:
Методические указания стр.2
***************************************************************************************
.
Аналогично заполняются остальные ячейки матрицы :
.
Из того факта, что , следует, что произведение определено и имеет размеры 2x2 :
Исходя из этого, сделаем разметку и проведем расчеты для матрицы :
(произведение имеет две строки и два столбца).
Легко видеть, что (даже размеры этих матриц различны!!!). Вывод:
умножение матриц в общем случае некоммутативно.
Далее, . Следовательно, произведение определено и .
Подробно:
(произведение имеет две строки и два столбца).
Легко видеть, что (размеры этих матриц различны!!!).
Однако бросается в глаза, что . Этот факт справедлив не только для данных матриц, но и для любых двух матриц, для которых произведение определено.
ТЕОРЕМА. Если
, то
:
после
транспонирования
порядок
сомножителей меняется на противоположный!
Приведем доказательство этой теоремы.
Отметим прежде всего, что для строки и столбца
Методические указания стр.3
***************************************************************************************
. (1)
Далее, заметим, что из включений следует, что
,
в связи с чем произведение определено и имеет те же размеры, что и матрица .
При этом в соответствии с равенством (1), учитывая, что при транспонировании матриц строки становятся столбцами: , а столбцы строками: , имеем
:
.
Равенство подчеркнутых выражений при всех и означает равенство матриц
. Теорема доказана.
В нашем примере осталось вычислить произведение . Этого уже можно не делать, поскольку, как доказано выше, .
Займемся сложением матриц. Сумма двух матриц определена тогда и только тогда, когда когда оба слагаемых имеют одинаковые размеры. У нас
; ; ; .
Поэтому определены лишь следующие суммы (сложение двух матриц одинаковых размеров происходит покомпонентно!):
;
.
Внимательный студент заметит, что полученные в этих двух цепочках вычислений ответы связаны соотношением . Это совпадение не является случайным (мы приводим здесь решение п.г))
ТЕОРЕМА..
Если
,
то
.
Методические указания стр.4
*************************************************************************************
Доказательство. В каждом из этих равенств матрицы, стоящие в левой и правой частях, имеют одинаковые размеры. Остается убедиться в совпадении соответствующих компонент матриц.
Действительно, для всех i=1,...,m; j=1,...,n имеем
(сумма двух действительных чисел не зависит от порядка слагаемых!)=
Доказательство завершено.
б) ,
Поэтому определены лишь следующие матрицы ( ни одна из интересующих нас сумм не определена!)
.
в) Для пары матриц имеем
.
Поэтому определены следующие матрицы
;
;
;
;
.
Методические указания стр.5
*************************************************************************************
2. Найдите матрицу Х из уравнения уравнения 7A - 2X - 5B = , где
, , нулевая матрица размеров 3x4.
Решение. Искомая матрица X имеет имеет размеры 3x4. По правилам действий над матрицами (сложение, вычитание матриц и умножение матриц на число происходят покомпонентно!)
.
3. Решите матричные уравнения (x и y – неизвестные действительные числа) и дайте геометрическую интерпретацию системы получившихся обычных уравнений:
а) ;
б) .
Решение. a) По определению действий со столбцами уравнение равносильно системе уравнений (сложение
Оба уравнения решенной выше системы суть уравнения прямых на координатной плоскости Oxy, а найденные нами числа суть координаты точки пересечения M(6;5) этих прямых.
б) Аналогично, уравнение
равносильно системе уравнений
Методические указания стр.6
*************************************************************************************
Дискриминант D квадратного уравнения равен . Поэтому корни этого квадратного уравнения суть
.
Таким образом, рассматриваемая система уравнений имеет два решения:
и .
Дадим геометрическую интерпретацию решенной системы уравнений и полученных реше-ний. Уравнение в прямоугольной декартовой системе координат Oxy есть уравнение окружности C с центром в точке и радиусом .
Второе уравнение в рассмотренной системе есть уравнение прямой L. Решив систему уравнений, мы, таким образом, нашли точки пересечения и прямой L с окруж-ностью C .