Оператор Гамильтона (1805−65, Англия).
Известно, что со скалярным полем u = u(x, y, z) связывается векторное поле – поле градиента
С векторным полем F(x,
y, z) =
связывается скалярное поле – поле
дивергенции и векторное поле ротора.
Гамильтон заметил, что все эти операции могут быть записаны более просто, если ввести символ
Это − знак действия над полем, т.е. оператор. Этот оператор обладает как свойствами вектора, так и свойствами оператора дифференцирования.
«Умножение» т.е. воздействие оператора на скалярное поле u и на векторное поле F производится по следующим правилам
При действиях с оператором
следует
пользоваться правилами векторной
алгебры и правилами дифференцирования.
Например.
После применения оператора
к полю получается новое поле (скалярное
или векторное), на которое можно вновь
воздействовать оператором
.
Повторное применение операции
называется операцией второго порядка.
Не все операции второго порядка имеют
смысл. Например, не имеет смысла операция
div(div F).
С помощью комбинаций операций grad, div и rot можно ввести пять операций второго порядка: div(grad u), rot(grad u), grad(divF), div(rotF), rot(rotF).
rot(grad u)= [ ∙ u] = 0,
div(gradu)=
(
u)
=
2u
=
