8

Введение в анализ.

( Ньютон 1642 – 1727, Лейбниц 1646 – 1716).

Переменной величиной называется величина, которая в рассматриваемых условиях может принимать различные числовые значения – x, y, z, u, v, w ….

Постоянной величиной называется величина, которая в рассматриваемых условиях сохраняет свое значение – a, b, c, ….

Абсолютная постоянная - π = 3,141…, 2, 1….

Параметр – постоянная величина лишь в рассматриваемых условиях.

pv = c – закон Бойля-Мариотта, с – параметр.

Переменная y называется функцией переменной х. если по некоторому правилу или закону каждому значению x из некоторого множества X ставится в соответствие определенное значение y, принадлежащее множеству Y

Множество Х называется областью определения функции.

Пример.

Способы задания функций.

1. х	x1	x2	…	xn
   y	y1	y2	….	yn

   Табличный

2. Г рафический y

y

x

x

3. Аналитический. Функция задается с помощью формулы y = f(x).

Основные элементарные функции.

К основным элементарным функциям относятся пять следующих типов функций:

1. Степенные – y = x^α .

2. Показательные – y = a^x,

3. Логарифмические y = log _ax,

4. Тригонометрические y = sin x, y = cos x, …

5. Обратные тригонометрические y = arcsin x, y = arccos x, …

Пусть y = f(u), u = φ(x). Тогда y = f(φ(x)) – сложная функция от х или функция от функции. Например, y = u², u = sin x → y = sin²x – сложная функция.

Элементарной функцией называется функция, заданная одним аналитическим выражением y = f(x), составленная из основных элементарных функций путем конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Например,

Пределы.

Число А называется пределом переменной величины у, если в процессе изменения у величина |у – А| становится и остается меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа ε.

Если |y – A| < ε , то у→ А или lim y = A.

П р и м е р .

A-ε 0 A+ε x

Докажем, что lim S_n = 1. Зададим произвольное ε > 0. При всех n, удовлетворяющих этому условию, будет выполняться условие |S_n – 1| < ε.

Бесконечно малые величины.

Бесконечно малой величиной называется переменная величина, имеющая нуль своим пределом.

α – бесконечно малая, если lim α = 0, каково бы ни было ε > 0 → |α – 0| < ε или |α| < ε

Связь понятий предела и бесконечно малой величины.

Пусть lim y = A. Тогда в процессе изменения у имеем |y – A| < ε, где ε сколь угодно малое число. Обозначим у – А = α. Тогда |α| < ε, т.е. α – бесконечно малая величина.

у = А + α

бесконечно малая

Справедливо утверждение: переменная, имеющая предел, представляется в виде суммы постоянной, равной пределу, и бесконечно малой величины.

Обратное утверждение: если переменная представляется в виде суммы постоянной и бесконечно малой величины, то эта постоянная есть предел переменной.

Е сли y = A + α , то lim y = А.

постоянная б.малая