Тема №2

Элементы векторной алгебры

Целеполагание (основные вопросы темы)	Диагностика (минимум умений)	Задания для домашней работы
		стандарт	подвинутый уровень
В1. Уметь решать задачи, использующие определение и свойства скалярного произведения векторов.	Д1. 1.В треугольнике АВС известны координаты вершин А(2,2,4), С(1,0,2) и вектора АВ (1,-1,-1). Найти углы треугольника. 2.Известны координаты точек А(1,2,3), В(2,3,4) и С(-3,х,у). Подберите значения х и у так, чтобы вектор АВ был перпендикулярен вектору АС;	Дз1. 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16(в,е); 20; 22;	24; 26; 28; 30; 32.
		34(с); 36; 38(в); 40; 42; 44;	45; 47; 49; 51; 53
В2. Уметь решать задачи, использующие определение и свойства векторного произведения.	Д2. 1. Даны точки А(1;2;0), B(3,1,-3) и C(5;2;6). Вычислить площадь треугольника ABC. 2. Используя свойства векторного произведения выясните параллельны ли векторы АВ и АС, если А(1,2,3), В(2,3,5), С(3,4,5).	Дз2. 52; 54,56; 58; 60; 62; 64; 66
B3.Уметь решать задачи, использующие определение и свойства смешанного произведения векторов	Д3. Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках А(1,1,-1), В(5,5,4), С(3,2,-1), Д(3,1,3). Установить компланарны ли векторы а, в и с, если а = (1;-2;1) , в = (2;-1;2) и с = (3;-1;-2).	Дз3. 68(с); 69(с); 70; 72; 74; 76; 78

Задачи и упражнения Векторы и линейные опреации над ними Уровень стандарта

1. Нарисуйте четыре произвольных вектора а, в, с и е. Постройте векторы: а +в; а+ в+ с + е; с – е; а+2в -3с + е.

2. Пусть векторы а=i-j+2k и в= -4k. Найдите координаты и длины векторов а и в.

3. Даны точки А(-4,3,5) и В(-2,3,4). Найти координаты вектора АВ.

4. Известны координаты вектора АВ (4, 3,2) и точки В(4,1,0). Найти координаты точки А.

5. Известны координаты вектора АВ(-1,2,4) и точки А(-1,2,3). Найти координаты точки В.

6. Найти длину вектора АВ, если А(-1,2,4), В(0,5,-2).

7. Записать координаты вектора а, коллинеарного вектору в =i-j+k.

8. Даны точки А(4,3,-1) и В(0,-3,5). Найти направляющие косинусы вектора АВ.

9. На векторах а(2,-1,0) и в (4,3,-1) построен параллелограмм. Найти координаты векторов, совпадающих с его диагоналями.

10. Даны точки А(-1,2,4) и В(5,-6,4). Найти координаты середины отрезка АВ и его длину.

11. Найти расстояние между точками А(-4,3,0) и В(1,-1,2).

12. Являются ли векторы а=2i-4j-8k и в =i-2j-4k коллинеарными? Если да, то сонаправлены ли они?

13. Пусть векторы а и в ортогональны, причём |а|=5, |в|=8. Найти |а+в|.

14. Определить модули суммы и разности векторов а(2,-1,0) и в (4,3,-1).

15. Проверить коллинеарность векторов а(2,-1,3) и в (-6,3,-9). Установите какой из них длиннее и во сколько раз, как они направлены.

16. Даны векторы а(4,-1,0) и в (-1,3,-1). Найти проекции на координатные оси следующих векторов: а) а + в; в) а – в; с) 2а; д) -а - в ; е) 0,5а + 2в.

17. Какой угол образует вектор а=-3i+4j с осями координат ОХ и OZ?

18. Даны точки А(-4,3,2), В(-1,3,-1). Какой угол образует вектор АВ с осями координат OX и OY?

19. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: а) α =45 ํ,β=60 ํ, γ=120 ํ;

в) α =45 ํ,β=135 ํ, γ=60 ํ; с) α =90 ํ,β=150 ํ, γ=60 ํ.

20. Найти длину вектора а=2i+3j-6k и его направляющие косинусы.

21. Вычислить модуль вектора а=2i-4j-8k –(i+2j+7k )и его направляющие косинусы.

22. Известно, что АВ=(5,-1,1), Д(-7,1, -1), причём АВ=СД. Найдите координаты точки С.

23. Даны точки А(1,-3,4) и С(5,-2,4). Точка С-середина отрезка АВ. Найти координаты точки В.