Векторное произведение Уровень стандарта
Найти ав, если
а) а(4,-3,-2), в(1,2,5);
в) а(-1,2,3), в=2i-4j-6k.
Зная, что угол между векторами а и в равен π, |а|=3, |в|=4, найти |ав|.
Векторы а и в ортогональны. Зная, что |а|=2, |в|=4, найти |ав|.
Найти |ав|, если а(3,-1,-2), в(1,-2,-1).
Вычислить ав , если |а|=3, |в|=26, |ав|=72.
Найти ав, аа, если а=4i+3j-k, в(-1,4,3). Являются ли коллинеарными векторы а и в?
Векторы а и в взаимно перпендикулярны. Зная, что |а|=3, |в|=4, вычислить
а) |(а+в)(а-в)|;
в) |(3а-в)(а-2в)|.
Векторы а, в и с удовлетворяют условию а+в+с=0. Доказать, что ав= вс= са.
Векторы а, в, с и d связаны соотношениями ав= сd, ас= вd. Доказать коллинеарность векторов а-d и в-с.
Найти площадь параллелограмма АВСД, если его последовательными вершинами являются точки А(3,2,-2), В(0,1,-3), С(2,-2,1).
Найти площадь треугольника АВС, если А(1,2,0), В(3,0,-3), С(5,2,6).
Вычислить синус угла, образованного векторами а(2,-2,1) и в(2,3,6).
Вектор х, перпендикулярный к векторам а(4,-2,-3) и в(0,1,3), образует с осью OY тупой угол. Зная, что |х|=26, найти его координаты.
Найти хотя бы один вектор, ортогональный векторам а(1,-3,4) и в=5i+2j-k.
Смешанное произведение Уровень стандарта
Являются ли компланарными векторы:
а) а(1,4,-3), в(0,2,-1), с(-1,2,3);
в) а(2,3,1), в(1,-1,3), с(-1,9,-11);
с) а(3, -2, 1), в(-3, -6, -3), с(0, 1, 2).
Какую тройку векторов (правую или левую) образуют векторы:
а) а(1,-1,3), в(1,0,6), с(3,-2,5);
в) а=i+j, в=i, с=к;
с) а=i-j, в=к, с=j;
Найти значение α, при котором четыре точки А(2,-1,3), В(α,1,1) , С(2,1,0) и Д(-1,-1,1) лежат в одной плоскости.
Известны координаты векторов а, в и с: а(2,2,0), в(-1,0,1) и с(0, α,-5). Найти значение α, при котором векторы а, в и с компланарны.
При каких значениях α тройка векторов а(-2,3, α), в(1,1,2) и с(-8,2,0) будет левой и объём параллелепипеда на них построенного, равен 5ед.3?
При каком значении α выполняется условие авс=|в|, если а(1,-2, α), в=12i+4j-3k, с=5i+12k.
При каком значении α выполняется условие авс= а∙в, если а(2,-1,α), в(1,3,-3), с=i-2j+k?
При каком значении α выполняется условие авс= в∙с-а∙с, если а(2,1,-3), в(3, α,-1), с=i-j-k?
Даны три вершины одного основания параллепипеда А(2,1,-1), В(3,0,-1), С(2,-1,3) и вершина другого основания F(0,-9,0). Найти длину высоты, опущенной из точки F на плоскость , содержащую точки А, В, С.
Объём тетраэдра АВСД равен 12. Найти координаты вершины Д, если А(2,1,1), В(0,-1,3), С(1,2,-2), а точка Д лежит на оси OY, причём векторы АВ, АС и АД образуют левую тройку.
Даны вершины пирамиды АВСД: А(0,1,2), В(1,2,2), С(-1,2,2), Д(1,-1,3). Найти объём пирамиды и длину высоты, опущенной на основание АВС.
Продвинутый уровень
Доказать тождество: ав(с+а+в)=авс, где и -какие угодно числа.
Доказать, что векторы а, в и с, удовлетворяющие условию ав+вс+са=0 компланарны.