Продвинутый уровень
Проверить, что четыре точки А(3,-1,2), В(1,2,-1), С(-1,1,-3) и Д(3,-5,3) служат вершинами трапеции и что выполняются свойства средней линии.
Векторы АВ(2,6,-4) и АС(4,2,-2) совпадают со сторонами ∆АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам и совпадающих с его медианами АМ, BN, CP.
Даны три вершины параллелограмма АВСД: А(3,-4,7), В(-5,3,-2), С(1,2,-3). Найти вершину Д, противоположную В.
Отрезок АВ разделён точками C, D, E и F на 5 равных частей. Известны координаты точек
C(3,-5,7) и F(-2,4,-8). Найти координаты точек А, В, D, E.
Проверить свойства средней линии треугольника с вершинами А(3,-1,2), В(1,2,-1), С(-1,1,-3).
Точки А(2,1,1), В(-1,2,3), С(0,3,5) являются последовательными вершинами параллелограмма. Найти длины его диагоналей.
Известно, что ∆АВС равнобедренный. Найти координаты вершины С, если А(1,2,-2), В(-1,4,0), а точка С лежит на оси OX. Сколько решений имеет задача?
Можно ли построить треугольник с вершинами в следующих точках: А(3,-3,1), В(5,-4,2),
С(-1,-1,-1).
Определить при каких значениях α и β векторы а= -2i+3j+ βk и в=-αi-6j+ 2k коллинеарны?
Определить: | а+в|, если | а|=11, | в|=23 и | а-в|=30.
Скалярное произведение векторов Уровень стандарта
Проверить, являются ли векторы а и в ортогональными, если:
а) а(2,1,-1), в(-1,1,-1); в) а(4,1,-1), в(2,4,-5); с) а(-2,1,5), в(1,3,-1).
Если вектор а(x,y,z) ортогонален оси ОХ, то чему равна его координата х?
Найти скалярное произведение векторов АВ и АС, если А(2,-1,3), В(0,-1,2), С(-1,-2,3).
Известно, что угол между векторами а и в равен ⅔π, |а|=4 и |в|=5. Найти а)а∙в; в) в2.
Даны векторы а(-1,2,3), в(4,-2,1). Вычислить а) (а-в)2; в)(а+в)∙в.
Вычислить косинус угла между векторами а(1,3,0) и в(-1,2,-3).
При каком значении α векторы а(-1,3, α) и в(4,-1,2) будут ортогональны?
При каком условии для двух ненулевых векторов а и в будут иметь место равенства:
а) а∙в=-|а||в|; в) а∙в=cos α , где α - угол между векторами а и в.
Даны точки А(1,-3,2), В(4,-1,2). Найти АВ∙ АС, где С – середина отрезка АВ.
Векторы а и в коллинеарны. Вычислить а∙в, если |а|=10 и |в|=3.
Векторы а и в ортогональны, вектор с образует с ними углы равные π, |а|=|в|=|с|=1.
Найти а) (а-с)∙в; в) а∙с.
Продвинутый уровень
Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а(2,1,0) и в(0,-1,1).
Найти координаты вектора х, коллинеарного вектору а(2,1,-1) и удовлетворяющего условию а∙х=3.
Даны вершины четырёхугольника АВСД. При каком значении х диагонали ортогональны, если А(-3, |х|,6), В(-4,-1,12), С(1,- |х|,7), Д(-3,1,20)?
Найти угол между векторами АС и ВС+АД, если А(2,1,0), В(-10,1,-1), С(-1,2,-5), Д(1,1,2).
Даны три вектора а, в и с, удовлетворяющие условию: а+в+с=0. Зная, что |а|=3, |в|=1 и |с|=4, вычислить а∙в+в∙с+с∙а.
Векторы а, в и с попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 60º. Зная, что что |а|=4, |в|=2 и |с|=6, определить модуль вектора p= а+в+с.
Даны вершины треугольника АВС: А(2,-1,4), В(-2,5,2) и С(4,3,-4). Найти угол между медианами треугольника, поведёнными из вершин А и В.
Найти угол между биссектрисами углов XOZ и XOY.
Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами АВ(1,2,-1) и ВС(2,0,-4) треугольника АВС, найти внутренний угол при вершине С.