контрольная ММвЦОС 4ый вариант

Контрольное задание №4

1 Показать, что дискретная система, описываемая уравнением является нелинейной.

Решение:

Систему называют линейной, если она обладает свойствами:

- аддитивности: реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий (принцип суперпозиции);

- однородности: умножению воздействия на весовой коэффициент соответствует реакция, умноженная на тот же коэффициент.

Соотношение вход/выход линейной системы описывается линейным уравнением.

Следовательно, система, описанная уравнением уравнением , является нелинейной.

2 Вычислить линейную свертку двух дискретных последовательностей, где импульсная характеристика цифровой системы, реакция системы на входную последовательность . Построить график свертки.

Решение:

3 Показать, что разностное уравнение c начальным условием }, где входная последовательность, описывает отклик cумматора.

Решение:

Следовательно,

4 Вычислить Фурье-образ (дискретизированное по времени преобразование Фурье) последовательности

гдеПостроить графики модуля и фазы как функции нормированной частоты в диапазоне где , – циклическая и линейная частоты, - частота дискретизации.

Решение:

Исходная последовательность

График модуля

График фазы

5 Вычислить элементы системы дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) и записать систему в виде матрицы размером Матрицу представить в алгебраической и экспоненциальной форме.

Решение:

В дискретном преобразовании Фурье используется система дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), определяемых следующим выражением

Обе переменные принимают дискретные значении

Обозначим

Тогда

Всю систему ДЭФ можно записать в виде матрицы V , строки которой нумеруются переменной k , столбцы переменной п, а в пересечении k-n строки и n-го столбца записана величина

Рисунок 2 – Поворачивающие множители ДПФ

Для N=3 матрица V имеет вид:

6 Выполнить прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности Восстановить исходную последовательность через вычисление обратного ДПФ последовательности коэффициентов дискретного преобразования Фурье.

Решение:

, k=0,1,…,N-1;

, n=0,1,…,N-1.

Выражение для вычисления называется прямым преобразованием (ДПФ), а для вычисления - обратным (ОДПФ).

Коэффициент (постоянная составляющая) равен сумме всех отсчетных значений сигнала:

7 Дана последовательность Применить быстрое преобразование Фурье (БПФ) для вычисления коэффициентов ДПФ. Показать, что алгоритм БПФ можно применять для восстановления по коэффициентам ДПФ используемым в качестве исходного массива данных. Оценить вычислительную сложность алгоритма БПФ.

Решение:

Сигнал состоит из 8-х отсчетов во временной области. Применяя уравнение ДПФ, получаем:

Разобьем эту сумму на две при n = (0, 2, 4, 6) и (1, 3, 5, 7). Получим выражение:

Раскрывая суммы, запишем

Два различных поворачивающих множителя можно связать с помощью определения:

Тогда формула примет вид:

Полученное выражение для 8-точечного БПФ не слишком сложно, но по мере возрастания количества точек увеличивается его сложность. Чтобы упростить выражение, его обычно изображают в другом виде.

Представим в виде графа алгоритм БПФ с прореживанием по времени основанный на разбиении — объединении при 

Рисунок - Граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени при N=8

На первом этапе отсчеты входного сигнала переставляются местами и исходная последовательность делится на «четную» и «нечетную последовательности» (обозначены красными и синими стрелками). Потом «четная» и «нечетная» последовательности в свою очередь делятся на «четную» и «нечетную» последовательности. При  такое деление можно делать раз. В нашем случае . Данная процедура называется двоично-инверсной перестановкой, так можно выполнить перенумерацию отсчетов переписав номер отсчета в двоичной системе в обратном направлении. Например  имеет индекс в десятичной системе счисления , если же  переписать справа налево то получим , то есть после разбиения на четные нечетные перед первой операцией «Бабочка» встанет на место , которая в свою очередь встанет на место . По аналогичному правилу поменяются местами все отсчеты, при этом некоторые останутся на месте, в частности, так как если  переписать справа налево то все равно останется , аналогично   и. Очень важно понять, что данный метод перенумерации должен применяться при записи числа в двоичной системе состоящей из  разрядов. В приведенном примере использовалось 3 разряда двоичного числа, но если же  (), то необходимо записать число при использовании 4 разрядов. В этом случае  и после переписывания получим , то есть при   не останется на месте, а поменяется местами с .

Можно сказать что напрямую двоично-инверсная перестановка удобна когда заранее количество отсчетов входного сигнала фиксировано, однако в универсальных алгоритмах БПФ на различные размеры , двоично-инверсная перестановка не эффективна, проще и быстрее поменять отсчеты местами.

После двоично-инверсной перестановки получаем четыре 2-точечных ДПФ:

На основе четырех 2-точечных ДПФ формируются два 4-точечных ДПФ:

И на последнем уровне формируется полный спектр входного сигнала.

Алгоритм с прореживанием по времени на каждом уровне требует  комплексных умножений и сложений. При количество уровней разложения — объединения равно , таким образом общее количество операций умножения и сложения равно .

8 Заданы последовательности иВычислить циклическую дискретную свертку последовательностей с помощью ДПФ. Построить график свертки.

Использование БПФ для вычисления свертки основано на том, что ДПФ свертки последовательностей есть покомпонентное произведение ДПФ соответствующих последовательностей.

Для выполнения свертки с помощью дискретного преобразования Фурье необходимо дополнить нулями обе входные последовательности так, чтобы количество элементов в этих последовательностях равнялось Nвых=4+5-1=8. Далее необходимо произвести прямое ДПФ по формуле прямого преобразования Фурье.

Вычислим ДПФ последовательностей:

, k=0,1,…,7;

Далее производится поочередное умножение элементов первой последовательности с элементами второй последовательности и просуммировать полученные значения. После производится обратное преобразование по формуле обратного преобразования, в результате которого получаем свертку, рассчитанную с помощью ДПФ.

, n=0,1,…,7.

9 Вычислить матрицу косинусных функций дискретного косинусного преобразования (ДКП) размером Матрицу представить в алгебраической и экспоненциальной форме.

Решение:

10 Выполнить прямое ДКП последовательности Изобразить график функции. Восстановить исходную последовательность через вычисление обратного ДКП последовательности коэффициентов дискретного косинусного преобразования .

Решение:

11Вычислить двумерное ДКП массива данных размером Восстановить исходный массив, выполнив двумерноеобратное дискретное косинусное преобразование (ОДКП), если

Решение:

Матрица ДКП :

Двумерное ДКП массива данных

Обратное ДКП:

12Вычислить среднеквадратичную ошибку восстановления исходных данных (задача 11) при обнулении 12,5 % наименьших по значениям коэффициентов преобразования ДКП и последующем выполнении ОДКП над полученным массивом.

Решение:

Обнулим 12 наименьших значений матрицы с·х:

Обратное ДКП

Среднеквадратичная ошибка восстановления исходных данных: