8 Ранг матрицы

Пусть дана матрица

(1)

имеющая п строк и т столбцов. Столбцы этой матрицы представляют собой систему из т п-мерных векторов. Ранг этой системы векторов называется рангом матрицы.

Выберем в матрице (1) произвольные k строк и столько же столбцов. Естественно считать, что . Определитель, матрицы, стоящей на пересечении выбранных строк и столбцов будем называть минором k-го порядка матрицы А.

Очевидно, что если все миноры k-го порядка матрицы А равны нулю, то и все миноры более высоких порядков будут равны нулю. Это непосредственно следует из формулы разложения определителя по строке.

Теорема. Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличного от нуля минора.

Доказательство. Пусть наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы (1) равен r. Перестановками строк и столбцов можно добиться того, что этот минор будет стоять в верхнем левом углу матрицы, которую обозначим А^*. Очевидно, что если все миноры (r + 1)-го порядка у А равны нулю, то и у матрицы А^* такие миноры тоже будут равны нулю. Обозначим минор порядка r, стоящий в верхнем левом углу через М. Очевидно, что первые r столбцов матрицы линейно независимы. Если бы это было не так, то столбцы, составляющие минор М были бы линейно зависимы, и этот минор равнялся бы нулю.

Теперь осталось доказать, что любой k-й столбец матрицы при r < k  m будет линейной комбинацией первых r столбцов. Выберем произвольные числа i и j (r < j  n). Подставим на место (r+1)-й строки i-ю строку, а на место (r+1)-го столбца j-й столбец Теперь минор М получился “окаймлённым” минором M_ij

При любых i минор M_ij будет равен нулю. Например, если r < i  n, то M_ij является минором порядка r + 1 матрицы А, и следовательно, по условию равен нулю. Если i  r, то M_ij не является минором матрицы А, но он содержит две одинаковых строки, и поэтому равен нулю.

Разложим минор M_ij. по последней строке:

(2)

Поскольку в последней формуле алгебраическое дополнение элемента а_ik не зависит от i, оно обозначено А_k. Поскольку М  0, из равенства (2) можно выразить элемент j-го столбца a_ij через элементы первых r столбцов i-й строки:

Это равенство справедливо при всех i (i = 1,2,,n), причём коэффициенты при а_ik от i не зависят. Отсюда следует, что j-й столбец матрицы будет линейной комбинацией её первых r столбцов. Таким образом, в системе столбцов матрицы А найдена максимальная линейно независимая подсистема, состоящая из r столбцов, то есть ранг матрицы А равен r.

Теперь для того, чтобы найти ранг системы векторов, достаточно составить матрицу, столбцами которой служат вектора системы, и найти минор максимального порядка, отличный от нуля. Порядок этого минора и будет рангом системы векторов.

Для определения ранга матрицы, как следует из доказательства последней теоремы, достаточно найти минор М из левого верхнего угла, отличный от нуля, и затем методом окаймления перебрать миноры порядка на единицу большего до обнаружения такого минора, отличного от нуля. Если таких миноров, отличных от нуля не оказалось, то ранг матрицы равен порядку минора М. Если такой минор, не равный нулю, нашелся, то процедуру расчёта окаймляющих миноров нужно продолжить.

Из доказанной теоремы следует, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы столбцов.

Другое важное следствие теоремы состоит в том, что теперь можно утверждать: чтобы определитель п-го порядка равнялся нулю необходимо и достаточно, чтобы между его столбцами существовала линейная зависимость.

Достаточность условия здесь очевидна. Чтобы доказать необходимость, заметим, что наивысший порядок отличных от нуля миноров определителя меньше порядка самого определителя. Отсюда следует, что столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Диагональная форма матрицы.

Две теоремы о ранге матрицы.