Содержание.

стр.

Введение

Исходные данные к расчёту

Решение

Рабочая таблица и графики распределения вероятностей

Список использованной литературы

Введение

Главная проблема применения положений теории надёжности на практике – нахождение характеристик законов распределения основных показателей надёжности изучаемых объектов.

Вид законов распределения и их числовые характеристики для основных показателей надёжности объектов определяют путём сбора, анализа и соответствующей статистической обработки информации об эксплуатации объектов или специальными испытаниями.

Были проведены наблюдения за 54 прессами для производства силикатного кирпича, которые являются основным технологическим оборудованием заводов. Прессы представляют собой многопозиционный револьверный полуавтомат, состоящий более чем из одиннадцати основных узлов и механизмов. В эксплуатации находится более 1200 прессов и изучение и повышение их надёжности и долговечности является важной народнохозяйственной задачей.

Для получения эмпирических данных была реализована модель эксплуатации невосстанавливаемых объектов, т.е. наблюдения проводились до отказа всех исследуемых прессов. В результате получено 54 случайных реализаций наработок на отказ прессов в интервале 1400…2450 ч.

Исходные данные к расчёту

Ориентировочное число интервалов разбиения наработки может быть подсчитано по формуле Стерджеса:

, (1)

где N – размер выработки;

S – число интервалов, на которое надо разбить размах полученный значений.

Так как N=54, то .

Принимаем S=7.

Ширину интервала каждого разряда определяем по соотношению:

. (2)

Рабочая таблица должна содержать 7 разрядов с интервалами разбиения каждого через 150 ч наработки.

Данные для последующих расчётов сводим в таблицу 1.

Таблица 1. Вариант исходных данных.

Номер варианта.	Номер интервала, i
	1	2	3	4	5	6	7
	Ширина интервала, Δti, ч.
	1400-1550	1550-1700	1700-1850	1850-2000	2000-2150	2150-2300	2300-2450
2	3	6	9	16	9	7	4

Решение

1.Оценка вероятности появления отказов по интервалам наработки:

(3)

где n(Δt_i) – опытные частоты попадания в разряд;

N – число объектов испытаний, N=54.

;

;

;

;

;

;

;

.

2.Оценка вероятностей появления отказа за наработку t, соответствует накопленной частости попадания в разряды наработки:

, (4)

где t – момент времени, равный сумме t_i.

Результаты вычисления накопленных частостей или опытные вероятности отказа вносим в 5 строку таблицы 2.

;

;

;

;

;

;

;

3.Вычисление вероятностей безотказной работы.

Вероятность безотказной работы определяем по соотношению:

. (5)

;

;

;

;

;

;

;

.

Полученные результаты вносим в шестую строку таблицы 2. Значения вероятностей, приведённые в строках 5-6 используем для построения графиков распределений и (рисунок 1.).

4.Построение гистограммы распределения вероятностей.

Гистограмма – графическое изображение эмпирической функции плотности распределения вероятностей отказов между границами принятых интервалов разрядов и представляет собой для каждого интервала наработки прямоугольник, площадь которого численно равна опытной частости попадания в разряд.

Высоты прямоугольников гистограммы:

, . (6)

;

;

;

;

;

;

.

Строим гистограмму (рисунок 2.).

5.Выравнивание статистического распределения теоретическим.

Среднеквадратическое отклонение:

, (7)

где - середина разряда;

k – число принятых разрядов расчётной таблицы.

Для вычисления S_t предварительно находим:

(8)

; (9)

;

;

;

;

;

;

;

.

; (10)

;

;

;

;

;

;

;

.

; (11)

;

;

;

;

;

;

;

.

; (12)

;

;

;

;

;

;

;

.

Заполняем строки 8-11 таблицы 2.

6.Вычисляем значение теоретической вероятности безотказной работы. Для вычисления воспользуемся таблицами математической статистики квантилей нормального распределения (приложение 3.) [1].

; (13)

;

;

;

;

;

;

;

.

При определении вероятностей следует учитывать правило:

и . (14)

Результаты вычисления квантилей и последующее определение по таблицам математической статистики соответствующих им вероятностей для конечных значений интервалов наработок приводим в строках 12 и 13 таблицы 2.

7.Вычисление значений теоретической вероятности отказа.

Значение вероятности отказа:

; (15)

;

;

;

;

;

;

.

Результаты заносим в 14 строку таблицы 2.

8.Вычисление теоретической плотности вероятностей. Плотность вероятностей попадания наработки на отказ в середину разрядов определяем:

; (15)

;

;

;

;

;

;

;

.

Результаты заносим в 15 строку таблицы 2.

9.Построение графиков теоретических функций распределения. Результаты вычислений координат точек теоретических распределений нанесём на графики и соединим их плавными кривыми (рисунок 1) и (рисунок 2).

10.Проверка гипотезы о возможности выравнивания эмпирического распределения нормальным законом.

Согласованность теоретического распределения с эмпирическим проверяют по критериям согласия.

Выборка наработки на отказ в данном случае достаточно велика, поэтому можно использовать критерий согласия Пирсона X²:

, (16)

где n_т(Δt_i) – теоретическая частота отказов в интервале Δt_i;

n(Δt_i) – число объектов, отказавших в интервале наработки Δt_i (строка 3, таблица 2).

Численные значения теоретических вероятностей попадания наработок на отказ в интервал Δt_i подсчитываем по соотношению:

, (17)

где F(t_i) – строка 14 таблицы 2.

;

;

;

;

;

;

;

.

Результаты заносим в 16 строку таблицы 2.

Теоретическая частота отказов на интервале Δt_i:

, (18)

где N – объём выработки, N=54.

;

;

;

;

;

;

;

.

Результаты заносим в 17 строку таблицы 2.

Далее вычислим квадраты отклонения опытных частот от теоретических и частные от деления данных квадратов на теоретические частоты попадания в разряд. Результаты заносим в 18-19 строки таблицы 2.

Просуммировав данные строки 19, получим значение X²_расч.

Зададимся уровнем значимости и определим число степеней свободы k как число разрядов минус число наложенных связей r=3:

k=S-r=7-3=4. (19)

В том числе необходимо выполнить условие .

Принимая уровень значимости α=0,05 для k=4 из таблицы Пирсона находим значение допустимой меры расхождения:

(20)

.

Следовательно, по критерию Пирсона гипотеза оправдывается.

Рабочая таблица и графики распределения вероятностей.

Таблица 2. Рабочая таблица.

1	Интервалы.	0	1	2	3	4	5	6	7
2	Границы разрядов.	0- 1400	1400-1550	1550-1700	1700-1850	1850-2000	2000-2150	2150-2300	2300-2450
3	n(Δti)	0	2	6	11	18	10	6	1
4	Q(Δti)	0	0,037	0,1111	0,2037	0,3333	0,1851	0,1111	0,0185
5	F(ti)	0	0,037	0,1481	0,3818	0,7151	0,9602	1,0113	1,0298
6	P(t)	1	0,963	0,8519	0,6182	0,2849	0,0998	-0,0113	-0,0298
7	f(t)·10^4	0	2,46	7,41	13,58	22,22	12,34	7,41	1,23
8	t^i	700	1475	1625	1775	1925	2075	2225	2375
9	<t>- t^i	1193,74	418,74	268,74	118,74	-31,26	-181,26	-331,26	-481,26
10	(<t>- t^i)^2	1425215,2	175343,2	72221,2	14099,2	997,2	32885,2	109733,2	231611,2
11	(<t>- t^i)^2Q(Δti)	0	6487,69	8023,77	2872	325,69	6081,49	12191,36	4284,8
12	Up	2,3	1,6	0,9	0,2	-0,5	-1,2	-1,9	-2,6
13	P(t)=P0(Up)	0,9893	0,9452	0,8159	0,5793	0,3085	0,1151	0,2887	0,0047
14	F(t)=1-P(t)	0,0107	0,0548	0,1841	0,4207	0,6915	0,8849	0,7113	0,9953
15	f(t)·10^4	0,713	2,94	8,62	15,77	18,05	12,89	-11,57	18,93
16	Qт(Δti)	0,0107	0,0441	0,1293	0,2366	0,2708	0,1934	-0,1736	0,284
17	nт(Δti)	0,5778	2,3814	6,9822	12,77	14,62	16,44	-9,37	15,33
18	[n(Δti)-nт(Δti)]^2	0,333	0,145	0,964	3,133	11,424	41,47	1,78	0,09
19	[n(Δti)-nт(Δti)]^2 nт(Δti)	0,57	0,06	0,9822	0,245	0,78	2,52	0,38	0,07
20	X^2расч.	5,6