Сходимость метода

Теперь докажем сходимость процесса итерации, для этого надо доказать сходимость .

Выясним условия сходимости последовательности

Теорема 1. Для того чтобы последовательность приближений сходилась достаточно, чтобы все собственные значения матрицы B были по модулю меньше единицы:

. (3)

Доказательство. Найдем значение любого выражения через

(4)

Отсюда и из условия теоремы с учетом свойств опеделителя матрицы сразу следует что при и

,

Откуда .

Теорема 2.

Если требовать, чтобы последовательность сходилась кпри любом начальном приближении, то условие (3) является необходимым

Доказательство. Пусть для всякого начального приближения будет. Имеем

.

При разностьстремиться к нулю, поэтому последний член цепи равенства должен стремиться к нулю, каким бы ни был вектор. Отсюда следует, что, последнее же будет лишь в том случае, когда верно неравенство (3)

Применение теорем 1 и 2 требует знания границ собственных значений матрицы В; нахождение их часто является нелегкой задачей. Укажем более простые, но только достаточные признаки сходимости.

Теорема 3.

Для того чтобы последовательность приближений в методе простой итерации сходилась, достаточно, чтобы какая-либо норма матрицы В была меньше единицы.

Доказательство.

Если , то все собственные значения матрицыВ по модулю меньше единицы, и по теореме 1 последовательность сходится.

Непосредственным следствием теоремы (3) и равенств определяющих кубическую и октаэдрическую норму матрицы, является

Теорема 4. Последовательность в методе простой итерации сходится, если для матрицы В выполняется одно из неравенств:

1. 

2. 

Для многих приложений важно знать, какой является скорость сходимости , и уметь оценить Погрешность замены точного решенияситемы приближением.

Теорема 5.

Если какая-либо норма матрицы В, согласованная с рассматриваемой нормой вектора , меньше единицы, то верна следующая оценка погрешности приближения в методе простой итерации:

. (5)

Доказательство.

Для выше дано выражение (4), и так как, то

Поэтому

(6)

и, стало быть,

.

Часто за принимают векторb. В этом случае оценка (5) немного упростится; подставляя =b в (6) получим

.

Метод Зейделя

Метод Зейделя применяют в двух видоизменениях. Рассмотрим сначала случай канонической формы системы для метода итерации

(1)

В методе простой итерации следующее приближение находится по предыдущемупутем подстановкиx^k в правую часть всех уравнений системы (1). Для нас сейчас удобнее записать результат подстановки не в векторной форме, а в развернутом виде по составляющим:

(2)

В этой операции порядок выбора уравнений значения не имеет. Здесь, очевидно; опускаются две возможности улучшения итераций: разумный выбор порядка уравнений для подстановок и немедленный ввод в вычисления каждого из полученных исправленных значений неизвестных.

О принципах выбора порядка уравнений будет говориться ниже, а сейчас предположим, что для перехода от приближения к следующему —нами выбран какой-то порядок привлечения уравнений для подстановок. Изменяя, если необходимо, нумерацию уравнений и неизвестных, можно считать, что уравнения для подстановок берутся в порядке роста их номеров. Для каждого шага от приближенияk до k+1 порядок привлечения уравнений может быть своим, и должны быть выполнены свои изменения нумерации и перестановки, что влечет за собой свое изменение матрицы В системы и свободного вектора b. Чтобы отметить это, обозначим матрицу В для рассматриваемого, шага и свободный вектор. В этих обозначениях итерация в методе Зейделя выполняется в следующем порядке:

(3)

После нахождения вектора устанавливают поря­док подстановок в уравнения значений (i = 1, ..., п) и переходят к вычислению вектора и т.д.

Приведем теперь пример принципа, на основании которого можно устанавливать порядок привлечения уравнений для подстановок (i = 1,...,п). Можно пытаться в первую очередь улучшить ту составляющую решения, которая найдена наименее точно, чтобы при нахождении всех других составляющих употреблять улучшенное ее значение. О точности можно было бы судить по вектору погрешности,, но так как вектор точного решения неизвестен, тов вычисле­ниях заменяют другим вектором, по которому можно, хотя бы неполно, судить о погрешности. Чаще всего для этой цели пользуются вектором поправки на по­следнем шаге, где. Ве­личины поправок составляющих нумеруют в порядке убывания их абсолютных значений, и в том же порядке вычисляют составляющие следующего приближения : сначала ту составляющую, которая отвечает наибольшей по модулю поправке, и т.д.

Пример:

Приведем эту систему к удобному для итерации

В качестве нулевых приближений корней возьмем

Применяя последовательно процесс решения методом Зейделя

Результаты вычисления корней приведены в Таблице 1ниже с точностью до 4-х знаков

i
0	1.2000	0.0000	0.0000
1	1.2000	1.0600	0.9480
2	0.9992	1.0054	0.9991
3	0.9996	1.0001	1.0001
4	1.0000	1.0000	1.0000
5	1.0000	1.0000	1.0000

Таблица 1

Точные значения: ; ;