Сходимость метода

Остановимся более подробно на стационарном ме­тоде Зейделя; когда при итерациях порядок уравнений сохраняется, матрица В будет одинаковой на всех ша­гах и составляющие следующего приближения нахо­дятся при всяком k по правилу (3).

Разложим матрицу В на сумму двух матриц Н и F, где

.

Тогда равенства (2) можно записать в форме матрич­ного равенства

откуда следует, что, а так как определитель матрицы

равен единице и она имеет обратную, то равенство (3) равносильно

. (4)

Поэтому стационарный метод Зейделя равносилен ме­тоду простой итерации, примененному к системе

.

Это сразу дает возможность на основании теоремы 1 (метод итерации) сказать, что для сходимости стационарного процесса Зейделя (2) при любом векторе начального приближения необходимо и достаточно, чтобы все соб­ственные значения матрицы, т. е. корни уравнения, были по модулю меньше единицы.

Этот признак может быть высказан в форме, не тре­бующей обращения Е — Н. Если воспользоваться тем, что , то можно написать систему равенств

Поэтому верна

Теорема 1.

Для того чтобы стационарный метод Зейделя сходился при любом начальном векторе при­ближения необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения

были по модулю меньше единицы.

Укажем еще более простой достаточный признак сходимости. Предварительно докажем лемму.

Лемма 1. Если в матрице диагональные элементыдоминируют по строкам или по столбцам, т. е. если

или

то определитель матрицы А отличен от нуля.

Доказательство.

Для определенности предпо­ложим, что имеет место доминирование по строкам. Достаточно показать, что однородная система

Ах = 0 (6)

имеет только нулевое решение.

Допустим противоположное и будем считать, что си­стема имеет ненулевое решение , Среди составляющих решения выберем наибольшую по модулю;

Положим и оценим снизу левую часть уравнения номераi системы.(6):

так как ипо условию леммы. Этот результат противоречит тому, что есть решение системы, и доказывает неверность допущения.

Теорема 2.

Для сходимости стационарного метода Зейделя (4) достаточно, чтобы выполнялось какое-либо одно из условий:

(7)

Или

(8)

Доказательство.

Достаточность первого и вто­рого условий проверяется аналогично, и можно ограни­читься рассмотрением только первого условия.

Нужно показать, что при выполнении условия (7) нее корни уравнения (5) будут по модулю меньше еди­ницы. Будем считать, что , и рассмотрим сумму модулей недиагональных элементов строки номераi матрицы:

Таким образом, диагональные элементы матрицы доминируют по строкам, и на основании леммы 1 определитель этой матрицы отличен от нуля, а значение, для которого, не может быть корнем уравнения (6). Корни этого уравнения все по мо­дулю меньше единицы, и по теореме 1 стационарный метод Зейделя сходится.

4. Математическая модель

1. Блок-схема алгоритма программы.(Рис.1)

Рис.1

По таблице результатов расчетов(Таблица 2) построим график зависимости количества итераций(it) от параметра релаксации(ω)(Рис.2)

Таблица 2.

	-4.8811	-4.8943	-4.8988	-4.9017	-4.9021	-294079	-9.7537	-6.0595	-1.4435	9.5938
	-15.3419	-15.3756	-15.3867	-15.3942	-15.3957	749746	2.4865	1.5449	3.680	1.7710
	-18.8269	-18.8683	-18.8822	-18.8913	-18.8928	-923408	-3.0625	-1.9027	-4.5325	-2.1811
	-15.3419	-15.3756	-15.3867	-15.3942	-15.3957	749746	2.4865	1.5449	3.680	1.7710
	-4.8811	-4.8943	-4.8988	-4.9017	-4.9021	-294079	-9.7537	-6.0595	-1.4435	9.5938
	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2
ε	0.0009	0.0009	0.0009	0.0008	0.0008	5445	1.6099	9.250	2.081	9.5938
it	144	80	56	44	35	150	150	150	150	150

Рис.2

Как видно из графика (Рис.2), минимальное количество итераций (35) получается при ω равному 1.