Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Факультет информационных технологий и управления

Кафедра систем управления

Пояснительная записка

к курсовому проекту по курсу:

«Математические основы теории систем»

Выполнил: Руководитель:

студент гр. 902403 Павлова А.В.

Петров В.И

Гомель 2012

Содержание

Факультет информационных технологий и управления 1

Кафедра систем управления 1

Пояснительная записка 1

«Математические основы теории систем» 1

1 Математическое описание линейных систем 3

1.1 Дифференциальное уравнение системы. Характеристическое уравнение и его корни 3

Импульсная характеристика 10

1.3 Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ 10

1.4 Уравнение состояния в нормальной форме, схема моделирования 15

1.5 Уравнение состояния в канонической форме, 17

схема моделирования 17

1.6 Решение уравнения состояния в нормальной и канонической формах 20

1.7 Проверка: одинаково ли значение коэффициента усиления по передаточной функции, переходной характеристике, моделям в пространстве состояний, аналитической записи импульсной переходной характеристики 26

2 Линейное программирование 28

2.1 Математическая модель задачи. Нахождение оптимального плана х* и экстремального значения функции 28

2.2 Построение и решение задачи, двойственной к исходной. Сравнение решения прямой и двойственной задач 30

2.3 Получение целочисленного решения путем введения дополнительных ограничений по методу Гомори 35

3.1 Построение ОДЗП, выбор начальной точки поиска 36

3.2 Нахождение экстремального значения функции F(x) без учета ограничений на переменные 37

3.2.1 Метод наискорейшего спуска 37

3.3 Нахождение экстремального значения функции F(x) с учетом системы ограничений задачи 42

3.3.1 Метод допустимых направлений Зойтендейка 42

1 Математическое описание линейных систем

1.1 Дифференциальное уравнение системы. Характеристическое уравнение и его корни

Исходные данные:

Передаточная функция системы имеет вид:

(1.1)

_{Передаточная функция системы W(s) – это отношение изображения по Лапласу сигнала на выходе к изображению по Лапласу сигнала на входе при нулевых начальных условиях (до момента подачи сигнала все характеристики были нулевыми). Передаточная функция обычно правильная рациональная дробь.}

_{Передаточная функция не зависит от входного воздействия, а зависит только от вида дифференциального уравнения и параметров системы. Зная} y(s) и U(s), можно найти y(s)=U(s)*W(s).

_{Чтобы перейти от передаточной функции к дифференциальному уравнению системы, нужно перейти из области изображений по Лапласу во временную область. Из (1.1) следует:}

где:y(S) – выходной сигнал в области изображений по Лапласу;

u(S) – входной сигнал в области изображений по Лапласу.

_{Для перехода во временную область воспользуемся формальными правилами:}

Тогда дифференциальное уравнение, соответствующее передаточной функции, имеет вид:

(1.2)

где - выходной сигнал,- входной сигнал.

Характеристическое уравнение системы определяется знаменателем передаточной функции:

_{Один из корней уравнения можно найти подбором, это будет λ=-1, а затем понизить порядок уравнения и решить его:}

_Итак,

,

тогда корни характеристического уравнения имеют вид:

Передаточная функция системы в форме нулей и полюсов имеет вид:

Получим разложение передаточной функции на сумму простых слагаемых, представив W(s) в виде:

Из этого уравнения найдем a, b, c.

.

Следовательно,

_{Получим систему уравнений:}

Решая эту систему, получим корни:

Передаточная функция:

Импульсная переходная характеристика w(t) – это процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход δ-функции. Ее можно найти в результате обратного преобразования Лапласа, примененного к каждому слагаемому передаточной функции.

В соответствии с таблицами соответствия ,тогда:

Matlab

>> ch=[216 432]

>> zn=[1 13 39 27]

>> [x]=residue(ch,zn)

x =

-31.5000

18.0000

13.5000

Получим аналитическую форму переходной характеристики, как импульсную переходную характеристику системы, дополненную интегралом.

Переходная характеристика h(t) – это процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия. Ее можно вычислить следующим образом:

,

Свободный член c=16

таким образом аналитическая форма переходной характеристики имеет вид:

.

Переходную характеристику можно также вычислить следующим образом: так как на вход подается единичное ступенчатое воздействие, а преобразование по Лапласу 1(t) это , то, получим такой же результат.

Выполним проверку:

-верно;

- верно.

Matlab

>> ch=[216 432]

>> zn=[1 13 39 27]

[c]=residue(ch,[zn,0])

c =

3.5000

-6.0000

-13.5000

16.0000

Временные характеристики системы

График h(t)

>> w=tf([216 432],[1 13 39 27])

Transfer function:

216 s + 432

------------------------

s^3 + 13 s^2 + 39 s + 27

>> step(w)

График w(t) Переходная характеристика

>> impulse(w)