Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Факультет информационных технологий и управления

Кафедра систем управления

Пояснительная записка

к курсовому проекту по курсу:

«Математические основы теории систем»

Выполнил: Руководитель:

студент гр. 902402 Павлова А.В.

Потягевич Д.М.

Минск 2012

Содержание

Факультет информационных технологий и управления 1

Кафедра систем управления 1

Пояснительная записка 1

«Математические основы теории систем» 1

1 Математическое описание линейных систем 4

1.1 Дифференциальное уравнение системы.Характеристическое уравнение и его корни 4

1.2 Разложение передаточной функции на сумму простых слагаемых. Вычисление импульсной переходной характеристики ω(t) спомощью обратного преобразования Лапласа и переходной характеристики h(t) 6

1.3 Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ 9

1.4 Уравнение состояния в нормальной форме,схема моделирования 11

1.5 Уравнение состояния в канонической форме, 13

схема моделирования 13

1.6 Решение уравнения состояния в нормальной и канонической формах 17

1.7 Проверка: одинаково ли значение коэффициента усиления по передаточной функции, переходной характеристике,моделям в пространстве состояний, аналитической записи импульсной переходной характеристики 22

2 Линейное программирование 23

2.1 Математическая модель задачи. Нахождение оптимального плана х* и экстремального значения функции 23

2.2 Построение и решение задачи, двойственной к исходной. Сравнение решения прямой и двойственной задач 26

2.3 Получение целочисленного решения путем введения дополнительных ограничений по методу Гомори 29

3.1 Построение ОДЗП, выбор начальной точки поиска 29

3.2 Нахождение экстремального значения функции F(x) без учета ограничений на переменные 31

3.2.1 Метод наискорейшего спуска 31

3.2.2 Метод Ньютона-Рафсона 36

3.3 Нахождение экстремального значения функции F(x) с учетом системы ограничений задачи 39

3.3.1 Метод допустимых направлений Зойтендейка 39

39

3.3.2 Метод линейных комбинаций 44

44

4 Тексты программ в среде MATLAB 52

4.1 Математическое описание линейных систем 52

>> M=[1 1 1; -3 -5 -10; 9 25 100] 56

M = 56

1 1 1 56

-3 -5 -10 56

9 25 100 56

>> inv(M) 56

ans = 56

3.5714 1.0714 0.0714 56

-3.0000 -1.3000 -0.1000 56

0.4286 0.2286 0.0286 56

>> B=[0;1200;-21600] 56

B = 56

0 56

1200 56

-21600 56

>> M^-1*B 56

ans = 57

-257.1429 57

600.0000 57

-342.8571 57

4.2 Линейное программирование 57

4.3 Нелинейное программирование 57

1 Математическое описание линейных систем

1.1 Дифференциальное уравнение системы.Характеристическое уравнение и его корни

Передаточная функция системы имеет вид:

(1.1)

_{Передаточная функция системы W(s) –это отношение изображения по Лапласу сигнала на выходе к изображению по Лапласу сигнала на входе при нулевых начальных условиях.}

_{Чтобы перейти от передаточной функции к дифференциальному уравнению системы, нужно перейти из области изображений по Лапласу во временную область. Из (1.1) следует:}

_{Для перехода во временную область воспользуемся формальными правилами:}

Тогда дифференциальное уравнение, соответствующее передаточной функции, имеет вид:

(1.2)

где - выходной сигнал,- входной сигнал.

Характеристическое уравнение системы определяется знаменателем передаточной функции:

_{Один из корней уравнения можно найти подбором, это будет λ=-3, а затем понизить порядок уравнения и решить его:}

_Итак,

,

тогда корни характеристического уравнения имеют вид:

Передаточная функция системы в форме нулей и полюсов (zpkформе) имеет вид: