I Исследование линейной непрерывной сау
Исходные данные
Структура исследуемой замкнутой линейной непрерывной САУ представлена на рис.1.1, где – управляющее воздействие, – возмущающее воздействие,- сигнал ошибки,- выходной сигнал. Значения параметров , , заданы в табл. 1. Размерность , , в секундах, общий коэффициент передачиимеет размерность 1/с, в табл. 1 заданы также желаемые показатели качества системы: максимальная ошибка по скоростипри скачке по скоростии, время переходного процессав секундах, и перерегулированиев процентах.
Исходные данные приведены в табл.1
Таблица 1
Номер варианта
|
1 |
eck |
tnn |
σ |
|
|
|
15 |
2,8 |
0,06 |
3,8 |
10 |
0,23 |
1 |
4,8 |
Рис.1.1
Требуемые передаточные функции находят с использованием правил структурных преобразований. Коротко сформулируем основные правила.
Передаточные функции последовательно соединенных звеньев перемножаются.
Передаточные функции параллельно соединенных звеньев складываются.
Передаточная функция системы с обратной связью – это передаточная функция замкнутой системы, которая определяется по формуле:
Например, для системы, представленной на рис. 1.2 можно записать следующие передаточные функции:
Рис.1.2
Передаточная функция разомкнутой системы при,(т.е. разомкнута главная обратная связь) определится выражением
где обозначено ,
,
.
Главная передаточная функция или передаточная функция замкнутой системы при :
Передаточная функция по ошибке при , которая позволяет выразить ошибку e(t) в системе при известном входном воздействии:
Передаточная функция по возмущению при позволяет выразить влияние возмущения на выходной сигнал:
Передаточная функция разомкнутой исходной системы имеет вид , где. Характеристическое уравнение замкнутой системы будет, где при заданных из таблицы исходных данных числовых значениях и коэффициентыбудут зависеть от параметрови . Применение критерия Гурвица к характеристическому уравнению четвертого порядка дает следующие условия устойчивости:.
Приравнивая в написанных соотношениях правые части нулю, найдем зависимость от и построим в плоскостии границы устойчивости, ограничивающие некоторую область устойчивости. При заданном параметре находим граничное значение коэффициента передачи.
где обозначено
,
,
,
Выразим К через параметр Т2.
Зависимость К(Т2) приведена на рис.1.3.
Рис.1.3
При заданном параметре находим граничное значение коэффициента передачи.
Kгр=K(T2=0.1)= 8.2746.
Полагая , записываем аналитическое выражение для,изпри.
К=0.7Kгр= 5.7922.
Передаточную функцию разомкнутой системы можно записать в виде
где
Тогда
где
Строим графики логарифмических характеристик разомкнутой системы, с помощью MATLAB(оператор bodeилиmargin) Рис.1.4 а. Предварительно с помощью функцииpaz=tf([K],[a0 a1 a2 a3 0]) найдем
Рис.1.4 а
Вещественная часть частотной характеристики замкнутой системы
Строим график АФЧХ с помощью MATLAB(оператор nyquist) рис.1.4 б для разомкнутой системы.
Рис.1.4 б
Запасы устойчивости по модулю и фазе определяются по логарифмическим характеристикам (см. рис.1.4 а): на частоте среза ωсопределяетсязапас по фазе – , азапас по амплитуде – на частоте при которой. Таким образом,, что является недостаточным.
Величина ошибки по скорости определяется как . Для ориентировочной оценкиtnnи σ следует построить переходной процесс(операторstepвMATLAB) прии по нему определитьtnnи σ.
Для получения уравнений состояний в нормальной форме используем дифференциальное уравнение замкнутой системы . Если, то уравнение состояния имеет вид
Для описания динамических систем в пространстве состояний в Matlab 7.* применяются модели подкласса ss, которые основаны на линейных дифференциальных или разностных уравнениях.
Модель непрерывной системы в подклассе ss имеет вид:
dx/dt = Ax + B;
y = Cx + D,
где: х - вектор состояния; u- вектор входа; у - вектор выхода.
Для формирования моделей в подклассе ss предназначена функция ss
sys = ss(A, В, С, D).
В результате под именем sys получаем ss-объект с числовыми характеристиками в виде четверки матриц {А, В, С, D}, которые должны иметь согласованные размеры. МатрицуDв данном случае полагаем равной 0.
Для построения переходного процесса воспользуемся операторомstepвMATLAB.
Реализация функций имеет вид:
sys=ss([0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 01;-b4/b0 -b2/b0 -b1/b0],[0 0 0 K/b0]',eye(4),zeros(4,1));
step(sys)
В результате получим графики представленные на рис.1.5. Нас будет интересовать Out(1).
Величина ошибки по скорости определяется как .
Для ориентировочной оценки tnnи σ следует построить переходной процесс(операторstepвMATLAB) прии по нему определитьtnnи σ. Эти величины из графикаOut(1) определяются следующим образом:
,
Время переходного процесса определяется с учетом следующих соотношений: εуст=(t)/(1+K), где, а К=5.7922 – общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда εуст=1/(1+1.964)= 0.15 и следовательноtnnиз графикаOut(1).
Рис.1.5
Таким образом. исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать.
Если исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать. В случае применения частотных методов синтеза коррекции строится желаемая ЛАЧХ . В низкочастотной части желаемой ЛАЧХ при сохранении порядка астатизма (наличие интегратора 1/sв системе) требуемый коэффициент усиления выбирается из соотношения. На частоте среза желательно иметь наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек с протяженностью этого участка не менее одной декады. Далее среднечастотная часть ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной отрезком прямой с наклоном -40(если необходимо -60) дБ/дек, а высокочастотная часть желаемой исходной ЛАЧХ по возможности должны совпадать.
Учет требований качества переходного процесса: tnnи σ, запасов устойчивости учитываются при формировании среднечастотной области. Здесь можно воспользоваться графиком (рис.1.6).
Рис.1.6
По графику рис.1.6 для заданных значений инаходяти затем из соотношениячастоту среза.
В наше случае: (как показано на рис.1.6,а) для ,, откуда для, значениеи.
Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 1.7) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и чтобы изломы, по возможности, были не более чем на (протяженность участка около декады). Тогда, выберемна частотеина частоте.
Введем обозначения:
Величину ω1 найдем из условия равенства значений. Это соотношение приводит к следующему выражению:
В последнем выражении обозначено:
ω'=0.1ω2
L’(ω')=50 дБ
L’(ω2)=10 дБ
L(ω3р)=L(0.2083)= 25.8695 дБ
L(ω2)=L(0.25)= 23.4214 дБ
Последние две величины находятся из выражения для Lисх(ω).
Найденное по формуле значение ω1=0.1372
ЛАЧХ с корректирующего устройства с характеристикой Lk(ω), приведенной на рис.1.7, соответствует функция (рис.1.7):
где
Рис. 1.7.
Общая передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид
где .
Далее воспользуемся функцией zpk(z, р, К), где z и р – векторы из нулей и полюсов, а Кd – обобщенный коэффициент передачи, sys – любое имя присваиваемое модели. Тогда запись в системе Matlab примет вид
sys1=zpk([-1/T2k -1/T3k],[0 -1/T1 -1/T2 -1/T3 -1/T1k -1/T4k],Kd)
Результат представления sys1 представлен ниже.
Диаграммы Боде (margin(sys1)) представлены на рис.1.8. На диаграмме также обозначены запасы устойчивости, которые являются приемлемыми.
Рис.1.8
Для нахождения переходных характеристик замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний.
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид
Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд
sys1=zpk([-1/T2k -1/T3k],[0 -1/T1 -1/T2 -1/T3 -1/T1k -1/T4k],K)
Zam_ck=feedback(sys1) – находится передаточная функция замкнутой системы.
Переходная характеристика (рис.1.9 ) находится с помощью функций:
sys3=ss(Zam_ck)
Из рассмотрения рис. 1.9 видно, что параметры по заданию выполняются.
Рис.1.9