МатАнализКР-3, 1 вариант

1 вариант

1. Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных.

Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.

Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.

Известно, что Ψ`(х)=tgα, где α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х<sub>0</sub>. Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 для любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.

Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке.

Действительно, для произвольного х₁ и х₂ из промежутка J по теореме о среднем значении функции можно записать: f(х₂)- f(х₁)=f`(с) (х<sub>2</sub>- х<sub>1</sub>), т.к. f`(с)=0, то f(х₂)= f(х₁)

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Доказательство: Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J. Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х), тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J. Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J. Следовательно, Φ(х)- F(х) = С. Откуда Φ(х)= F(х)+С. Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число. Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

 Теорема. У всякой непрерывной на промежутке [a, b] функции имеется первообразная.

     Доказательство этой теоремы будет дано далее.

     Нетрудно видеть, что, если функция F(x) есть первообразная для f(x), то функция F(x) + C при любом постоянном C также является первообразной для f(x). В то же время никаких других первообразных, кроме функций вида F(x) + C, у f(x) уже быть не может. Действительно, если F₁(x) есть какая-то первообразная для f(x), то производная разности F₁(x) - F(x) будет всюду на [a, b] равняться нулю, а тогда сама разность есть величина постоянная, т. е.

F₁(x) - F(x) = C     и     F₁(x) = F(x) + C.

     Если F(x) есть первообразная функция для f(x), то функция двух аргументов x и C, равная F(x) + C, называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом

     Таким образом, неопределенный интеграл какой-нибудь функции представляет собой общий вид первообразных функций для этой функции. Величина C, входящая в определение неопределенного интеграла, называется "произвольной постоянной". Придавая ей то или иное закрепленное значение, можем получить из неопределенного интеграла любую первообразную.

       Теорема. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т. е.

10. Основные свойства определенного интеграла.

1. ;

2. если , то

3. ;

4. ;

5. ;

6. если, то .

Задание №1. Найти неопределенные интегралы. В случаях а), б), в) результат проверить дифференцированием.

Решение:

Задание №2. Вычислить определенные интегралы.

Задание №3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

Решение:

Найдём точки пересечения линий:

Задание №4. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.

, воспользуемся формулой Симпсона:

где

тогда

тогда

Задание №5. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится.