Разнообразия изображения по объединенным данным осенней и летней съемки

Факторы – i	Дисперсия i	Энтропия Hi
1	4,716716	6,237783
2	0,655588	3,390861
3	0,308844	2,304950
4	0,184074	1,558360
5	0,124624	0,995656
6	0,010154	-2,621791
Общая энтропия		11,86582

H = 0.5(6log₂ (2e)+log₂₁₊ log₂₂+ log₂₃+ log₂₄+ log₂₅+ log₂₆₎

В заключении этого раздела приведем оценку разнообразия ландшафта, получаемую одновременно от осенней и зимней съемки. Приращение информации относительно осенней съемки (табл. 8) составляет около 1,3 бита, а осенняя съемка относительно зимней дает приращение 3,3 бита. При этом первый фактор содержит 78,6% варьирования состояний территорий в пространстве за два срока измерения. Можно полагать, что обобщенный первый фактор содержит важнейшую наиболее общую информацию о разнообразии пространственной структуры реальной территории.

Рассмотренный подход к оценке разнообразия опирается на использование метода главных компонент, применение которого в полной мере корректно при линейном характере зависимостей между каналами и нормальными распределениями. Очевидно, что в нашем случае эти условия не выполняются. Формально применение этого метода в данном случае некорректно, однако технологическая простота его применения делает метод главных компонент ведущим при анализе изображений. Правда, в данном случае оценки разнообразия корректировались расчетами по самим распределениям без использования гипотезы нормальности. Однако и здесь нормировки вводились на основе вклада фактора, оцениваемого по дисперсии. В принципе возможно использование методов, результаты которых не зависят от типа распределения и нелинейности отношений между переменными. Однако они более громоздки и требуют специальных программных средств, не реализованных в стандартных пакетах статистических программ (Statistics, SPSS, NCSIS, SYSTAT, SAS). Параллельное использование этих методов показывает, что чаще всего они корректируют отображение относительно редких состояний систем и не изменяют основных свойств отображения.

Задача 2. Анализ иерархической организации и его разнообразия

Исследование иерархии географического пространства – наиболее активно развивающееся направление. За последние 10 лет в мировой науке для решения этой задачи развит широкий арсенал количественных методов с применением теории фракталов, спектрального анализа, вейвлет анализа. Суть задачи сводится к выявлению правил, порождающих иерархию, и использованию этих правил для решения практических задач согласования изображений на картах различного масштаба, выбора масштаба для составления ландшафтных карт различного целевого назначения и, наконец, для создания основы для изучения и описания механизмов, порождающих иерархию. К настоящему времени этой теме посвящена огромная литература, с которой достаточно полно можно познакомится через Интернет (Приложение № 2 ). Вместе с тем следует отметить, что исследование иерархии требует от молодого специалиста базовых знаний статистики и основ анализа временных рядов. В данном случае теоретические основания анализа будут изложены на самом общем понятийном уровне.

В основе исследования иерархии фактически лежит постулируемая Л. С. Бергом цель географии: «Целью географического исследования является отыскание связей и закономерностей, какие существуют между распространением отдельных, интересующих географа вещей…» [Л. С. Берг, 1958, стр. 116]. Для того чтобы последовательно разобрать ход такого исследования, вырежем из изображения, компилированного из шести факторов (рис. 10) рассматриваемого изображения, линию пикселей со значениями фактора, проходящую с севера на юг через центр изображения (рис. 11). Компилированное изображение строится как сумма значений всех шести факторов с весом каждого, пропорциональным его дисперсии. Так как факторы по условию независимы, такая сумма содержит всю информацию о структуре территории.

Из рис. 11 видно довольно резкое варьирование значений обобщенного фактора, отражающее изменение состояния подстилающей поверхности. При этом полиномиальный тренд (черная линия ) показывает, что при переходе от Приволжской возвышенности к Клинско-Дмитровской гряде яркость в среднем растет, затем на Клинско-Дмитровской гряде снижается, затем при переходе к Подольскому ополью вновь повышается и, наконец, снижается на Окско-Московской равнине.

На рис. 12 представлена автокорреляционная функция этого ряда. Именно эта функция показывает, что колебания значений, отражающих состояние поверхности, не являются чисто случайными и в изменении их значений в пространстве существует вполне определенный порядок или закономерность. Во-первых, автокорреляция показывает, что связь между соседними значениями, получаемая при сдвиге ряда относительно самого себя на один шаг, около 0,8. То есть, зная значение в точке i, с достаточно высокой надежностью можно предсказать значение в точке i+1. Во-вторых, по мере увеличения шага сдвига (лага) корреляция падает и становится равной нулю примерно при сдвиге на 21 шаг, то есть 5,2 км на местности. Это означает, что, зная значения фактора в какой-либо точке, ничего нельзя сказать о его значении в точке отстоящей на расстоянии в 5 км. Существование такого медленного затухания связи указывает на наличие в ряду низкочастного тренда, то есть медленных, но устойчивых изменений средних значений при движении с севера на юг. Именно этот тренд и отражен черной жирной линией на рис. 11. Однако корреляция при изменении сдвига не остается постоянной, а испытывает циклические колебания с максимум при сдвиге около 49 и 80 пикселей. Такое изменение автокорреляции указывает на возможное существование в ряду значений квазипериодических колебаний с различным периодом, то есть иерархических уровней.

Полное отображение свойств ряда осуществляется на основе спектрального анализа или разложения ряда функцией Фурье.

Суть дела сводится к тому, что любой временной или пространственный ряд можно описать с помощью L/2 гармоник (L – длина ряда), иначе говоря, синусоидальных и косинусоидальных волн с различными амплитудами. Волновым числом (w) обозначатся номер гармоники, начиная с наибольшей. Периодом колебаний называется интервал, на котором гармоника делает полный цикл (P = L/w). Таким образом, длина ряда отображает самый большой период, а минимальный отображаемый период равен 2. Частота колебаний f = 1/P. Максимальная частота колебаний равна 0,5 и называется частотой Найквиста. В результате спектрального анализа рассчитываются дисперсии для каждой гармоники. Если на какую-то гармонику приходится большая дисперсия, то это означает что именно на этой гармонике или с соответствующей ей

периодичностью действует значительная внешняя или внутренняя сила, порождающая пространственные волны с большой амплитудой. Наличие такого максимума указывает на существование пространственной структуры с линейными размерами, соответствующими периоду колебаний. Такова, коротко, сущность спектрального анализа. Следует отметить, что по спектру ряда можно восстановить все его исходные значения. В результате, вместо запоминания L – чисел достаточно запомнить в два раза меньше – L/2. При этом потери информации не будет.

На рис. 13 представлен спектр рассматриваемого ряда. Периодограмма дает прямую оценку дисперсии (или мощности варьирования) на каждый период. Спектр дает оценку по сглаженным значениям. Максимумы варьирования приходятся на периоды 373, 106, 62, 37, 26, 16, 10; 5,6; 3 пикселя, что в принципе индицирует существование 9 иерархических соподчиненных волн, или уровней организации. Периоды соседних уровней в среднем отличаются в два-три раза, что определяет некоторую правильность флюктуаций. В этой правильности скрывается фундаментальное свойство ряда Фурье. Дело в том, что линейной комбинацией гармоник, которые по определению не зависят друг от друга, можно описать любую функцию или любой ряд. Формально каждому из уровней соответствует реальная иерархическая структура в том случае, если она имеет строго синусоидальную форму.

Синусоидальная форма описывает наиболее гармоничную и равновесную пространственную структуру. Если же реальные пространственные структуры не синусоидальны (например, система речных долин, у которых один склон относительно крутой, а другой пологий), то для отображения территориальных структур со сходными линейными размерами потребуется несколько гармоник со строго определенными частотами, кратными целому числу:

f_i = f_oi , i=2,3,4… ,

где f₀ – частота гармоники, определяющая собственно иерархический уровень организации. Остальные гармоники с частотами f_i – может быть эффектом ортогонального представления ряда разложением Фурье. Однако точно так же такая модель может отражать реальные волны, порождаемые нелинейным характером действия какого-либо фактора. В нелинейных колебаниях, в отличие от линейных, частота колебаний зависит от амплитуды, то есть от мощности воздействия. С ростом амплитуды колебания частота растет и колебания как бы расползаются по нескольким гармоникам. Достигнув некоторого порога мощности, волна «сбрасывается» на более высокую частоту, в силу правила «ухода от резонанса» – в два раза меньшую.

Для того чтобы выявить константную частоту (f₀) гармоники, определяемой действием одного фактора, можно рассчитать новый спектр, от уже определенного спектра ряда. Если нет закономерной повторяемости гармоник, различающихся на целое число, то в исходном спектре нет автокорреляции и выраженных гармоник. В этом случае можно говорить, что между выделенными гармониками нет функциональной связи, и каждая из них связана с действием возможно собственного фактора.

Прежде чем перейти к описанному выше разделу анализа колебаний, необходимо рассмотреть содержательную сторону понятия «фрактал» и методы измерения фрактальной размерности. Слово «фрактал» означает «разрыв» и указывает на то, что процесс, подпадающий под понятие «фрактальность», будучи непрерывным, содержит в себе разрывы, то есть области, в которых значения имеют резкий скачок, и производная в этих точках устремляется к бесконечности, то есть отсутствует. Классическим примером фрактального процесса является береговая линия любой территории или любая горизонталь топографической карты. Чем крупнее масштаб построения карты, тем больше в горизонтали появляется изгибов. При этом наблюдается интересный эффект: с ростом масштаба площадь острова или площадь поверхности в рамках одной замкнутой горизонтали стремится к некоторой предельной величине, а длина самой горизонтали (береговой линии) стремится к бесконечности. Очевидно, что это происходит в результате того, что в каждом более крупном масштабе выявляются новые «долины», не наблюдаемые в более мелком масштабе. Сама по себе фрактальность, или фрактальная геометрия, есть чисто математическая модель, как и всякая содержательная модель, отражающая некоторые аспекты реальности. Эта модель в общем случае описывает процессы с бифуркациями или скачкообразные переходы системы из одной локальной области равновесия в другую. Эти переходы могут иметь более или менее регулярный или хаотический характер. В рассмотренном выше примере бифуркация происходит в точке фазового перехода из ламинарного движения воды в грунтах в открытую водную поверхность, или турбулентное русловое течение. То, что переход из одной области состояний в другую происходит скачком, достаточно очевидно. Точно так же слияние двух рек есть скачкообразный переход, порождающий бифуркацию. Обычно такого типа процессы, если они связываются с действием одного фактора, порождают самоподобную структуру: части системы подобны по своей геометрии целому или объединяющей их системе. В этом смысле речная сеть – типичный пример самоподобной системы.

Фрактальная размерность системы в отличие от топологической (точка – ноль размерность; линия – размерность 1; плоскость – размерность 2; куб – размерность 3) нецелочисленна.

Она измеряется фактически как оценка параметра самоподобия. Один из основных методов измерения строится на следующем соотношении [Кронвер,2000]:

1. разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенной в 1/r раз. Очевидно, что Nr = 1;

2. рассмотрим то же соотношение для плоскости – Nr² = 1;

3. то же соотношение для объема – Nr³ = 1;

В общем случае соответственно

Nr^d = 1.

Соответственно размерность d:

d = log(N)/log(1/r).

Следовательно, чтобы определить размерность, необходимо организовать процедуру, при которой это соотношение оценивается из уравнения регрессии по нескольким разбиениям ряда, для которого оценивается размерность. Эту процедуру можно организовать нескольким способами.

На рис. 14 исходный ряд значений пересекается одной линией (разбивается на две части), тремя линиями (на четыре части), семью линиями (на восемь частей). В данном методе (метод ящиков) подсчитывается число пересечений линиями графиком (N_r при r = 2,4,8).

Соответственно, размерность определяется из уравнения регрессии между log(N_r) и log(r).

В табл. 9 приведены соответствующие значения N_r и r и параметры уравнения регрессии, а на рис. 15, а график этих демонстрирующий эту связь.

Таблица 9

	Уровни r
	2	4	8
N	125.0000	296.0000	452.0000
log2N	6.965784	8.209453	8.820179
log2r	1	2	3
D	0.927197
Ошибка D	0.182715

В соответствии с уравнением регрессии по трем уровням оценки фрактальная размерность линии равна 0,927 и с учетом ошибки недостоверно отличается от целочисленной для линии (1).

Второй способ оценки строится на основе сравнения общей длины линии L_r при изменении масштаба ее представления r. Объект оценки, как и во всех случаях, остается тот же (табл. 10) и D = log(L_r)/log(r). На рис. 16 приведено сравнение длин линий при шаге в 250 м и при шаге r = 16 , 4000 м.

В табл. 10 приведены значения длин линий при различных масштабах отображения трансекта и оценка фрактальной размерности.

Рис.14оценка фрактальной размерности по уравнению регрессии; а – метод «ящиков», б – метод «береговой линии»

Таблица 10