54. В чем особенности применения модели с непрерывным временем для оценки реальных опционов?

Предполагается, что цена актива имеет логарифмически нормальное распределение, а доходы от актива - нормально распределены; это позволяет более точно определить доходность, чем использование самих ценовых отношений:

доходность = ln (St+1 / St),

где S t — рыночная цена актива в момент t, a S t+1 — в момент t + 1.

Согласно определению колл опциона, его ожидаемая стоимость при исполнении равна

E [CT] = E [max(ST -X,0)] (1)

где Е[СT] — ожидаемая стоимость колл-опциона при исполнении, ST — цена актива в день исполнения, Х — цена исполнения опциона.

При исполнении опциона может случиться одно из двух: если ST > X, то опцион при исполнении будет выгодным и max(ST - Х,0) = ST – X, если же ST < X, то опцион при исполнении будет невыгодным и mах(SТ - Х, 0) = 0.

Если р - вероятность того, что ST > X, то соотношение (1):

Е[СT] = р * (Е[ST|ST>Х]-X) + (1-р) * 0 = p*(E[ST|ST>X]-X) (2)

Где Е[ST | ST > X] — среднее ожидаемое значение ST при условии, что ST > Х.

Чтобы получить справедливую цену опциона на день заключения контракта, нужно полученную величину продисконтировать к ее текущему значению:

C = p * e^(—rt) * (E[ST | ST>X]-X) (3)

где С — справедливая цена опциона при заключении контракта, r — безрисковая процентная ставка, t — время до погашения опциона.

Т.о., проблема оценки опциона свелась к двум более простым задачам: a) найти вероятность р того, что опцион при исполнении будет выгодным, т.е. что ST > X; b) найти Е [ST|ST > X] — условное ожидание цены основного актива при условии, что опцион при исполнении будет выгодным.

Формулу расчета цены опциона в случае с непрерывным временем (Блэк и Шоулз). Цена колл-опциона (С):

С = S * {N(d1)} – Xe^(-rt) * {N(d2)}, где

d1 = {ln(S/X) + (r+s2/2)t} / (s * Öt),

d2 = d1 – s * Öt.

S – цена актива, X – цена реализации, r – безрисковая процентная ставка, s – среднеквадратичное отклонение цены актива, t - срок реализации опциона, N(d) – функция стандартного нормального распределения (интегральная).

Цена колл-опциона неразрывно связана с ценой пут опциона посредством соотношения, называемого теоремой пут-колл эквивалентности.

Р = C – S + X e^(-rt) .

54. В чем особенности применения схем конечных разностей для оценки реальных опционов?

Блэк и Шоулз показали, что для определения стоимости колл-опциона может применяться фундаментальное уравнение частных производных:

½ s2S2FSS + r*S*FS - Ft - r F = 0 (1)

где

FS = dF / dS; Ft = dF / dt = -Ft; FSS = d2F / dS2;

S – стоимость актива; F – стоимость опциона; s - среднеквадратичное отклонение стоимости актива; r – безрисковая ставка процента.

Схемы конечных разностей - это метод, который предполагает конвертирование соответствующего дифференциального уравнения с непрерывным временем в набор дифференциальных уравнений с дискретным временем и решение этих уравнений, используя стандартный итеративный обратный процесс.

Целью применения метода конечных разностей является аппроксимация частных производных FS, FSS и Ft. Основная идея состоит в замене частных производных на соответствующие конечные разности. Существуют несколько путей, как можно аппроксимировать частные производные конечными разностями.