54. В чем особенности применения биномиальной модели для оценки реальных опционов?

Биномиальная модель основана на возможности построения безрискового хеджа при покупке опциона с последующей непрерывной корректировкой хеджа вплоть до погашения опциона.

Допустим, что за каждый шаг по времени цена актива может возрасти или понизиться только на определенную свою долю: если в момент времени t цена равна S, то в момент t + D t она может либо возрасти до uS, либо понизиться до dS.

Допустим, что имеется колл-опцион на этот актив, имеющий в момент t цену С. При росте цены основного актива до uS цена опциона возрастет до величины Сuр, а при понижении цены до dS— понизится до величины Cdown.

Т.к. возможны ровно 2 варианта изменения цены основного актива, то этот процесс назвали биномиальным.

Единственная неизвестная величина — стоимость колл-опциона за 1 шаг до исполнения, С. Эту величину можно найти с помощью построения безрискового хеджа из опциона и основного актива.

В общем случае рассмотрим портфель, включающий:

a) продажу одного колл-опциона,

b) покупку h единиц основного актива,

c) займа в размере В.

Величины h и В нужно подобрать так, чтобы финансовый результат портфеля при исполнении опциона был нулевым как при увеличении, так и при уменьшении цены основного актива. Для этого должны выполняться равенства

huS - Cup - BR =0,

hdS – Cdown - BR=0,

где R = е^(it), i — непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка,

Получилась система из 2х уравнений с двумя неизвестными, можно найти ее решения:

h = (Сuр – Cdown) / [S(u-d)] и B = (dСuр –u Cdown) / [R(u-d)] .

Равенство нулю начального потока наличности означает, что

C - hS+B=0.

Подставляя сюда выражения для h и В, получим:

C = [(R-d)Сuр –(u-R) Cdown] / R(u-d).

После замены p = R-d / u-d

получаем более удобное выражение для цены однопериодного опциона:

C = [pСuр – (1-p) Cdown] / R.

Этот метод оценивания однопериодных опционов легко распространить на опционы с более длинными сроками. Если время реализации опциона t разделить на n равных интервалов, каждый длиной h=t/n, и повторить тот же процесс, начиная со дня реализации опциона и двигаясь назад, тогда общая мультипликативная биномиальная формула для оценки опциона будет:

S (n!/j!(n-j)!)*pj (1-p)n-j max(ujd n-j S – E, 0)

C = ------------------------------------------------------ .

(1 + r)n

(n!/j!(n-j)!)*pj (1-p)n-j - формула биномиального распределения, определяющая вероятность того, что цена актива сделает j прыжков на n шагов, каждый с вероятностью р. max(ujd n-j S – E, 0) - дает стоимость колл-опциона к сроку реализации.

Суммируя все возможные произведения стоимости опциона к сроку реализации и соответствующей вероятности, получаем ожидаемую стоимость опциона, которая затем дисконтируется по безрисковой ставке за n периодов.

Авторы - Кокс, Росс и Рубинштейн -показали, что при стремлении n к бесконечности вышеприведенная биномиальная формула переходит в формулу Блэка-Шоулза с непрерывным временем.