1.3.Аппроксимация функции с помощью интерполяционных и сглаживающих сплайнов.
Одним из наиболее мощных средств аппроксимации функции является кубический интерполяционный сплайн. Кубический интерполяционный сплайн- это совокупность полиномов третьей степени вида
Sit=Fi+bi(t-ti)+ci(t-ti)2+di(t-ti)3, где Fi –значения аппроксимируемой функции в узлах, ti –значения аргумента функции в узлах, bi ci di –коэффициенты сплайна для i-го участка, i-номер участка, n- число точек в таблице аппроксимируемой функции, начиная с нуля.
Построение интерполяционного сплайна состоит в нахождении коэффициентов bi ci di . Тогда для каждого для i-го участка можно найти значение сплайна Si(t ) для любого t (в промежутке от ti до ti+1 ), которое и будет приближённым значением функции Fi(t).
Рис.10
Рис.11
Как видно из рисунка 11 интерполяционный сплайн не аппроксимирует 1-ую и 2-ую производные. В целом аппроксимация исходной функции выполнена удовлетворительно.
График интерполяционного сплайна проходит в точности по точкам исходной функции. Однако часто возникает необходимость сглаживания функции. В этом случае нужно заменить её на другую, более гладкую, значения которой отклонялись бы от исходной не более чем ,на заданную величину.
1.5.Аппроксимация функции сглаживающим сплайном.
Сглаживающий сплайн строится так, чтобы его график проходил между точками исходной функции, минимизируя значения изгиба.
Выберем константу коридора 2,проведём аппроксимацию:
Рис.12
Рис.13
Задача сглаживания выполнена удовлетворительно (рис.12).
1-ая производная сглажена удовлетворительно, а 2-ая производная зашумлена.
Выводы по работе:
Данную функцию удобнее всего аппроксимировать методом Фурье. Ряд Фурье хорошо аппроксимирует гладкие функции, а функция, отражающая характер движения ползуна 2 относительно кулисы 3 является гладкой.
Если необходимо, чтобы значения ряда в узлах совпадали со значениями аппроксимируемой функции, то следует производить разложение с максимально возможным числом членов ряда.
Ряд Фурье позволяет сглаживать функции, если они, как в нашем случае, искажены погрешностями эксперимента. Для такой сглаживающей аппроксимации следует при разложении учитывать лишь первые основные частоты, определённые по амплитудному спектру( в данном случае n=3).