Линейные неоднородные уравнения.

Ранее было показано (см. лекцию 19), что сумма решений линейного неоднородного уравнения L[y] = f(x) и соответствующего однородного уравнения L[y] = 0 является решением неоднородного уравнения. Используя это свойство, можно доказать следующую теорему:

Теорема 21.1. Общее решение на отрезке [a,b] уравнения L[y] = f(x) с непрерывными на [a,b] коэффициентами p_i(x) и правой частью f(x) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Доказательство.

Требуется доказать, что для любых начальных условий , можно подобрать такие значения постоянных c_i, чтобы функция

, (21.5)

где y_i – линейно независимые частные решения однородного уравнения L[y] = 0, а - частное решение рассматриваемого неоднородного уравнения, была решением этого неоднородного уравнения с заданными начальными условиями. Это требование приводит нас к системе уравнений относительно неизвестных с₁, с₂,…, с_п:

, (21.6)

главным определителем которой является определитель Вронского , как известно, не равный нулю. Поэтому система (21.6) имеет единственное решение, что и доказывает утверждение теоремы.

Замечание. Таким образом, при найденном общем решении однородного уравнения решение неоднородного уравнения сводится к подбору его частного решения.

Лекция 22.

Методы нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (метод вариации произвольных постоянных, метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции).

Распространим метод вариации произвольных постоянных, рассмотренный в лекции 19 для решения линейного уравнения первого порядка, на линейные уравнения высших порядков. Будем искать решение неоднородного уравнения в виде . При этом требуется найти п неизвестных функций с₁(х), с₂(х),…, с_п(х), которые удовлетворяли бы только одному уравнению

. (22.1)

Поэтому можно дополнительно потребовать, чтобы искомые функции удовлетворяли еще каким-нибудь п-1 уравнениям, выбранным так, чтобы производные функции имели по возможности такой же вид, как при постоянных c_i. Первая производная решения имеет вид: . Потребуем, чтобы вторая сумма в этом выражении равнялась нулю: , тогда . Зададим такое же условие для второй производной:

, , . Продолжая вычислять производные функции до порядка п – 1 включительно и требуя каждый раз, чтобы , получим:

(22.2)

( в последнем равенстве уже нельзя потребовать, чтобы вторая сумма равнялась нулю, так как на искомые функции уже наложено п – 1 условие, а последним требованием является то, что эти функции должны удовлетворять уравнению (22.1)). Подставив с учетом (22.2) в (22.1), получим:

,

но y_i – частные решения однородного уравнения, следовательно, все слагаемые второй суммы равны нулю и уравнение сводится к следующему: . (22.3)

Добавив его к первым п – 1 уравнениям системы (22.2), получим систему из п уравнений для определения с₁΄, с₂΄,…, с_п΄, определитель которой является определителем Вронского для функций у₁, у₂,…, у_п и, следовательно, не равен нулю. Следовательно, из этой системы можно единственным образом найти производные искомых функций, а затем с помощью интегрирования и сами функции с₁, с₂,…, с_п.

Пример.

. Найдем решение однородного уравнения, для чего составим характеристическое уравнение k² - 2k + 1 = 0, k₁ = k₂ =1. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид у = (с₁ + c ₂ x)е^х, то есть фундаментальную систему решений составляют функции у₁ = е^х и у₂ = хе^х. Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде у = с₁(х)е^х + с₂(х)хе^х. Составим систему (22.2):

, откуда ,

, где С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения: у = е^х(хln|x| - x + C₁x + C₂).

Подбор частного решения для неоднородного уравнения с постоянными

коэффициентами.

Для некоторых видов правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения

(22.4)

можно подобрать частное решение в виде функции с неопределенными коэффициентами, которые определяются путем подстановки этой функции в уравнение (22.4).

1. f(x) = A₀ x^s +A₁ x^s-1 +…+ A_s (а_п ≠ 0). При этом существует частное решение уравнения (22.4), имеющее такой же вид: y = B₀ x^s + B₁ x^s-1 +…+ B_s. Действительно, подставив эту функцию в уравнение (22.4) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим разрешимую единственным образом систему линейных уравнений: . Пример. . Будем искать частное решение в виде у = Ах + В, тогда , и после подстановки в уравнение получим: 3А + 2Ах + 2В = 3х – 5. Тогда 2А = 3, 3А + 2В = = -5. Следовательно, , и общее решение уравнения можно записать в виде: .

2. Если (то есть k = 0 является α – кратным корнем характеристического уравнения), то частное решение имеет вид: . Легко убедиться, что функция подобного вида является решением уравнения (22.4) при поставленных условиях. Пример. . Пусть Подставляя в уравнение, получим: откуда –36А = 2, 24А – 18В = 0, 6В – 6С = 5. Решая эту систему, получаем Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: .

3. . Если число р при этом не является корнем характеристического уравнения, можно задать частное решение в виде: . Если же р – корень характеристического уравнения кратности α, частное решение имеет вид: . В обоих случаях с помощью подстановки в исходное уравнение можно убедиться, что выбранные функции являются его решениями. Пример 1. . Найдя корни характеристического уравнения k² + k – 2 = 0: k₁ = 1, k₂ = -2, видим, что р = -1 не является корнем этого уравнения. Поэтому будем искать частное решение в форме y = e^-x(Ax + B). При этом . Подставляя в уравнение, получаем: , откуда –2А = 1, -А – 2В = 0, то есть . Итак, общее решение уравнения: . Пример 2. . Здесь р = 1 – корень характеристического уравнения кратности 2, поэтому частное решение имеет вид . Подстановка в уравнение дает 2Ае^х = 2е^х, откуда А =1, а общее решение: у = (с₁ + с₂х + х²)е^х.

4. В аналогичной форме задаются частные решения в случае, когда правая часть уравнения (22.1) имеет вид , где Р и Q – некоторые многочлены: а) если p ± qi - не корни характеристического уравнения, то можно подобрать частное решение в виде , где и - многочлены с неопределенными коэффициентами, степень т которых есть старшая из степеней многочленов Р и Q.

б) если p ± qi - корни характеристического уравнения кратности α, то

.

Пример.

. При этом ± - корни характеристического уравнения кратности 2, поэтому следует искать частное решение в виде: .

5. Если правая часть уравнения (22.1) представляет собой сумму функций, рассмотренных в предыдущих пунктах, то по принципу суперпозиции частное решение будет задаваться как сумма решений, соответствующих каждому из слагаемых правой части.

Пример.

Для уравнения частное решение ищем в виде:

.

Лекция 23.

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения.

Определение 23.1. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

В частности, система линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

. (23.1)

Можно использовать матричную запись такой системы, если ввести матрицы

. Тогда системе (23.1) эквивалентно матричное уравнение . (23.2)

Если же рассмотреть линейный оператор , уравнение (23.2) примет вид:

. (23.3)

Так как оператор L обладает свойствами линейности:

1. L[cX] = cL[X];

2. L[X₁ + X₂] = L[X₁] + L[X₂],

то для решений линейной однородной системы (23.3) (при F = 0) справедливы те же свойства: если Х₁ и Х₂ – решения однородного уравнения (23.3) , то и их линейная комбинация будет решением того же уравнения.

Можно ввести понятие линейной зависимости решений Х₁, Х₂,…, Х_п:

Определение 23.2. Векторы (столбцы) Х₁, Х₂,…, Х_п , где

, называются линейно зависимыми при , если существуют числа α₁,α₂,…, α_п, не все равные нулю, что

α₁Х₁ + α₂Х₂ +…+ α_пХ_п ≡ 0 (23.4)

при . Если же тождество (23.4) справедливо только при всех α_i = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание. Назовем определителем Вронского для уравнения (23.4) определитель вида

, (23.5)

являющийся определителем системы уравнений, получаемых при координатной записи равенства (23.4). Можно показать, что так же, как и в случае решения линейного однородного уравнения, при W = 0 решения Х₁, Х₂,…, Х_п линейно зависимы на [a,b]. Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема 23.1. Линейная комбинация п линейно независимых решений линейной однородной системы является общим решением этой системы.

Будем искать фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

(23.6)

в виде: , (23.7)

где α_i – постоянные. Подставив (23.7) в (23.6) и сократив на e^kt, получим:

. (23.8)

Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю:

, (23.9)

что представляет собой уравнение п – й степени относительно k, называемое характеристическим.

Если все корни характеристического уравнения различны, то, подставляя их последовательно в систему (23.8), можно найти соответствующие им значения и тем самым п различных решений системы (23.6). Эти решения линейно независимы. Действительно, если бы существовали числа β₁, β₂,…, β_п такие, что

, то в силу линейной независимости функций отсюда следовало бы, что для каждого i. Но поскольку хотя бы одно из не равно нулю, получаем, что все . Следовательно, найденные решения (23.7) линейно независимы, и общее решение системы имеет вид: , (23.10)

где c_i – произвольные постоянные.

Пример.

. Составим характеристическое уравнение:

k₁ = 1, k₂ =5. Для k = 1 получаем систему для определения : , то есть

. Примем , тогда . При k = 5 ,

. Тогда . Следовательно, общее решение системы имеет вид: .

В случае кратных корней характеристического уравнения решение системы (23.6) имеет вид

, где γ – кратность корня k_s.

Пример.

. Характеристическое уравнение имеет вид:

k₁ = k₂ = 3. Пусть x = (c₁ + c₂ t)e^3t, y = (c₃ + c₄ t)e^3t. Выразим постоянные с₃ и с₄ через с₁ и с₂. Для этого подставим найденные решения в одно из уравнений системы и приравняем коэффициенты при e^3t и te^3t: (3c₁ + c₂ + 3c₂t)e^3t = (2c₁ + c₃)e^3t + (2c₂ + c₄)te^3t, c₃ = c₁ + c₂,

c₄ = c₂. Итак, общее решение системы получено в форме: x = (c₁ + c₂ t)e^3t, y = (c₁+ с₂ + c₂t)e^3t.

Замечание. Для неоднородной системы (23.1) общим решением, так же как для неоднородного уравнения, будет сумма общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. При подборе частных решений справедлив принцип суперпозиции.

Пример.

. Найдем частное решение в виде: . При подстановке получим: , откуда А = 3, В = 1. Прибавив к полученному частному решению общее решение соответствующей однородной системы, запишем общее решение исходной системы: x = c₁e^t + 2c₂e^4t + 3e^5t, y = -c₁e^t + c₂e^4t + e^5t.

Лекция 24.

Устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем. Определение устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство (плоскость), фазовая траектория. Точки покоя. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Условия устойчивости точки покоя.

Поскольку при решении реальных задач с помощью дифференциальных уравнений начальные условия обычно являются результатами измерений и, следовательно, получены с некоторой погрешностью, очень важным является вопрос о том, как изменится решение уравнения при малом изменении начальных условий. В частности, если такие изменения существенно меняют решение, то подобное решение, очевидно, не имеет практической ценности.

Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений

(24.1)

с начальными условиями y_i(t₀) = y_i0 .

Определение 24.1. Решение φ_i (t) (ǐ = 1,2,…,n) называется устойчивым по Ляпунову, если

такое, что для всякого решения y_i (t) той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам , для всех справедливы неравенства (24.2)

(то есть близкие по значениям решения остаются близкими для всех ).

Если хотя бы для одного решения y_i (t) неравенства (24.2) не выполняются, решение φ_i (t) называется неустойчивым.

Если решение φ_i (t) не только устойчиво по Ляпунову, но и удовлетворяет условию

(24.3)

при , то это решение называется асимптотически устойчивым.

Замечание. Одно условие (24.3) не обеспечивает устойчивость решения.