Черняков Э.И. Лекции по дисциплине

«Физические основы электронной техники. Квантовая механика»

6. Векторная модель атома

Полный механический и магнитный моменты многоэлектронного атома состоят из механических и магнитных моментов и спинов и спиновых магнитных моментов электронов, которые образуют электронную оболочку атома. Однако поведение вектора полного механического (и связанного с ним магнитного) момента атома зависит от способа и последовательности сложения отдельных составляющих.

1. Сложение моментов количества движения в общем случае

Вначале рассмотрим сложение двух орбитальных моментов и , величины которых определяются квантовыми числами и :

(6.1)

Сумма этих механических моментов с учетом пространственного квантования определяется как механический момент

, (6.2)

величина которого вычисляется по формуле

. (6.3)

Причем квантовое число может принимать одно из следующих значений

(6.4)

Определим число способов, которыми могут складываться два момента. Оно равняется числу возможных значений , которые определяются формулой (6.1.4). Для определенности предположим . Тогда формулу (6.1.4) можно переписать в следующем виде

(6.5)

В этой последовательности чисел к нулю недостает , то есть чисел. Поэтому число чисел в этой последовательности равняется

(6.6)

Аналогично можно рассмотреть и случай . Поэтому можно сказать, что число способов, которыми механические моменты с орбитальными квантовыми числами и складываются с учетом пространственного квантования, будет равняться

(6.7)

В случае, когда мы имеем механических моментов с орбитальными квантовыми числами , необходимо последовательно проводить операцию сложения, добавляя к полученной сумме векторов очередной вектор, как мы это делали для двух векторов.

Проекции полного момента на избранное направление определяются обычным образом:

. (6.8)

Следовательно, полное число возможных ориентаций полного момента на выбранное направление равняется .

2. Сложение спиновых моментов

Имеем электронов, векторы спинов которых равняются . Полный спиновый момент всех электронов определяется как вектор , который равняется сумме векторов отдельных электронов:

. (6.9)

Абсолютная величина этого вектора вычисляется по формуле

, (6.10)

где квантовое число полного спина может принимать следующие значения:

(6.11)

Возможные значения проекции полного спина электронов на ось z определяются формулой

(6.12)

Таким образом, число возможных ориентаций полного спина равняется .

3. Возможные типы связи в атоме

Свойства атома зависят от того, каким образом происходит образование полного момента атома. Возможные два пути.

Рассмотрим первый. Сначала образуется полный момент каждого электрона сложением орбитального и спинового моментов (см. 3.4). Потом различные моменты складываются между собой, образуя полный механический момент атома . Такая связь электронов в атоме называется ( )-связью.

Но для большинства атомов реализуется другой сценарий. Орбитальные моменты различных электронов складываются друг с другом, образуя полный орбитальный момент атома . Также складываются спины отдельных электронов и образуют полный спиновый момент атома . И только после этого складываются орбитальный и спиновый моменты атома, образуя полный механический момент атома . Такая связь электронов в атоме называется -связью, или рассел-саундерсовской связью.

Возможная также промежуточная связь, когда часть электронов образует ( )-связь, а часть – -связь. Но практически такая комбинированная связь не играет значительной роли и в строении атомов главную роль играет - связь. Рассмотрим ее детальнее.

Для рассел-саундерсовской связи полный момент атома

, (6.13)

где – полный орбитальный момент атома, образованный соответственно (6.1.2 – 6.1.4), – полный спиновый момент атома, образованный из спинов отдельных электронов соответственно (6.9 – 6.11).

Поскольку квантуются и , то квантуется и полный момент

, (6.14)

где называется внутренним квантовым числом атома и может принимать следующие значения:

. (6.15)

Число способов образования полного момента атома при определенном значении квантовых чисел и равняется

, (6.16)

поскольку в большинстве случаев .

Проекция полного момента на ось z может принимать следующие значения:

, (6.17)

где

(6.18)

Ориентация полного момента относительно произвольного направления может происходить способами.

Поскольку квантовое число орбитального момента отдельного электрона принимает целое или нулевое значение, то и квантовое число полного орбитального момента есть либо целое, либо нуль, что вытекает из формулы (6.1.5).

Квантовое число полного спина может быть либо целым, либо полуцелым (6.11). Следовательно, квантовое число полного момента атома, как следует из (6.15), может быть целым или полуцелым в зависимости от величины квантового числа спина .