Черняков Э.И. Лекции по дисциплине

«Физические основы электронной техники. Квантовая механика»

3. Механический и магнитный моменты электрона

1. Орбитальный магнитный момент электрона

Каждый ток, как известно, порождает магнитное поле. Поэтому электрон, у которого орбитальный механический момент отличается от нуля, должен иметь и магнитный момент.

Из классических представлений момент количества движения имеет вид

, (3.1)

где – скорость, – радиус кривизны траектории.

Магнитный момент замкнутого тока с площадью создает магнитный момент

, (3.2)

– единичная нормаль к плоскости, и – заряд и масса электрона.

Сравнив (3.1) и (3.2), получим

. (3.3)

Магнитный момент связан с механическим моментом множителем

, (3.4)

который называют магнитомеханическим (гиромагнитным) отношением для электрона.

Для проекций моментов имеем такую же связь

. (3.5)

Переход к квантовой механике осуществляется заменой численных уравнений операторными уравнениями

, (3.6)

. (3.7)

Формулы (3.5) и (3.6) справедливые не только для электрона в атоме, но и для любых заряженных частиц, которые обладают механическим моментом.

Собственное значение оператора равняется

, (3.8)

где – магнитное квантовое число (см. разд.2.1)

Постоянная называется магнетоном Бора

. (3.9)

В единицах СИ она составляет Дж/Тл.

Таким же образом можно получить и собственные значения магнитного момента

, (3.10)

где – орбитальное квантовое число.

Часто используют запись

, (3.11)

где . Знак минус иногда опускают.

2. Собственный механический и магнитный моменты электрона (спин)

Электрон имеет четвертую степень свободы, которая связана с собственным механическим (а, следовательно, и магнитным) моментом электрона, – спином. Наличие спина следует из релятивистского уравнения Дирака

, (3.12)

где – векторная матрица, – четырехстрочные матрицы.

Поскольку величины есть четырехстрочные матрицы, волновая функция должна иметь четыре компонента, которые удобно записать в виде столбца. Решения (3.12) мы не будем проводить, а будем постулировать наличие спина (собственного момента) у электрона, как некоторое эмпирическое требование, не пытаясь объяснить его происхождение.

Коротко остановимся на тех опытных фактах, из которых следует существование спина электрона. Одним из таких прямых доказательств являются результаты опыта немецких физиков Штерна и Герлаха¹ (1922г.) по пространственному квантованию. В этих опытах пучки нейтральных атомов пропускались через область, в которой создавалось неоднородное магнитное поле (рис.3.1). В таком поле частица с магнитным моментом приобретает энергию и на нее будет действовать сила

, (3.13)

которая может расщепить пучок на отдельные компоненты.

В первых экспериментах исследовались пучки атомов серебра. Пучок пропускался вдоль оси , наблюдалось расщепление вдоль оси . Основная составляющая силы равняется

. (3.14)

Если атомы серебра не возбуждены и находятся на нижнем уровне, то есть в состоянии ( ), то пучок вообще не должен расщепляться, поскольку орбитальный магнитный момент таких атомов равняется нулю. Для возбужденных атомов ( ) пучок должен был бы расщепиться на нечетное число компонент в соответствии с числом возможных значений магнитного квантового числа ( ).

Рис.3.1. Схема опыта Штерна-Герлаха: 1 – источник атомов; 2 – диафрагмы, формирующие пучок; 3 – постоянный магнит, создающий неоднородное магнитное поле; 4 – пластинка, на которую оседают атомы

В действительности наблюдалось расщепление пучка на две компоненты. Это означает, что магнитный момент, который вызывает расщепление, имеет две проекции на направление магнитного поля, и соответствующее квантовое число принимает два значения. Результаты эксперимента побудили голландских физиков Уленбека и Гаудсмита² (1925) выдвинуть гипотезу о наличии у электрона собственного механического и связанного с ним магнитного моментов.

По аналогии с орбитальным числом введем квантовое число , которое характеризует собственный механический момент электрона. Определим по числу расщеплений . Следовательно,

. (3.15)

Квантовое число называют спиновым квантовым числом, и оно характеризует собственный или спиновый момент количества движения (или просто «спин»). Магнитное квантовое число , которое определяет проекции спинового механического момента и спинового магнитного момента спина, имеет два значения. Поскольку , а , то никаких других значений не существует, а, следовательно,

. (3.16)

Термин спин происходит от английского слова spin, что означает крутиться.

Спиновый момент импульса электрона и его проекция квантуются по обычным правилам:

, (3.17)

. (3.18)

Как всегда, при измерении величины получают одно из двух возможных значений . До измерения возможна любая их суперпозиция.

Существование спина нельзя объяснить вращением электрона вокруг собственной оси. Максимальную величину механического момента можно получить, если массу электрона распределить по экватору. Тогда для получения величины момента порядка линейная скорость точек экватора должна составлять м/с ( м – классический радиус электрона), то есть значительно больше скорости света. Таким образом, нерелятивистское рассмотрение спина невозможно.

Вернемся к экспериментам Штерна и Герлаха. Зная и величину расщепления (по величине ), можно рассчитать величину проекции спинового магнитного момента на направление магнитного поля . Она составляет один магнетон Бора .

Получим связь между и :

.

Величина

(3.19)

называется спиновым магнитомеханическим отношением и она в два раза больше орбитального магнитомеханического отношения.

Такая же связь имеется между спиновыми магнитным и механическим моментами:

. (3.20)

Найдем теперь величину :

. (3.21)

Однако принято говорить, что спиновый магнитный момент электрона равняется одному магнетону Бора. Такая терминология сложилась исторически и она связана с тем, что при измерении магнитного момента мы обычно измеряем его проекцию, а она как раз и равняется 1 .