Министерство Образования РБ

УО «Полоцкий Государственный Университет»

кафедра геодезии и кадастров

Лабораторная работа №3

Оценивание результатов косвенных измерений

Вариант 14

Выполнил: Лисенкова О.С.

Проверил: доц. Дегтярев А.М.

Новополоцк,2010

1.Оценивание одной функции. Прямая задача.

При оценке точности косвенных измерений по известной функции связи задача ставится следующим образом: найти среднюю квадратическую погрешность функции известного вида , если даны погрешности её аргументов . С использованием правил нахождения дисперсии от произвольной функции находим окончательный вид оценки для дисперсии D исходной функции F. В результате получаем следующую формулу :

где (i=1,2,3,…,n; j=1,2,…,k).

С учётом того, что ковариация связана с погрешностями m и коэффициентом корреляции r как , а дисперсия равна , для коррелированных измерений в соответствии с (1), имеем:

Если связи между i-тым и j-тым измерениями не существует (или она не значительна), то в формуле (2) отсутствует второе слагаемое.

Используя матричные обозначения, дисперсию функции можно представить в виде

Эта формула является выражением фундаментальной теоремы переноса ошибок. Здесь вектор-строка f из значений частных производных от функции F по i-тому аргументу:

,

а ковариационная матрица результатов измерений, где диагональные элементы – дисперсии i-го измерения, недиагональные – ковариации.

Задачи:

1.Среднее значение угла из четырёх приёмов имеет среднюю квадратическую погрешность 2˝. Определить погрешность угла, полученного при тех же условиях из 9 приёмов, и допустимую невязку в 9-угольнике.

Решение: Погрешность измерения угла n приёмами: = ,где - погрешность измерения угла одним приёмом. Тогда

Подставив значения, при n=4 получим: =4˝

Значит погрешность измерения угла 9 приёмами:

= =1,33˝

Допустимое значение невязки в k-угольнике из n приёмов определяется по формуле:

Подставив выраженное значение , получим при n=4:

, где t- вероятностный коэффициент.

Вычислим: =2 =12˝ , при t=2.

При n=9 приёмах получим : = =8˝, при t=2.

Ответ: =1,33˝; при n=4 =12˝; при n=9 =8˝.

2. Измерение угла одним приёмом даёт среднюю квадратическую ошибку, равную 15″. Какое минимальное число приёмов нужно сделать данным инструментом, чтобы получить среднюю квадратическую погрешность окончательного результата не более 5,0″?

Дано: m_β1=15″,

n₁=1 приёмов,

m_β2=5″

Найти: n₂-?

Решение: , отсюда m= m_β1* =15″ ,

тогда n₂=m²/ m_β2²=9 приёмов.

Ответ: n₂=9 приёмов.

3.Определить среднюю квадратическую погрешность вычисленного объёма прямоугольного параллелепипеда, если ребра его a=10м, b=4м, c=5м измерены со соедними квадратическими погрешностями m_a= m_b= m_c=0,06м?

Дано: m_a= m_b= m_c=0,06м,

a=10 м,

b=4 м,

c=5 м,

Найти: m_v-?

Решение: V=a*b*c

f_a=dV/da=b*c=20 м,

f_b=dV/db=a*c=50 м,

f_c=dV/dc=a*b=40 м,

m_v²= m_a²(f_a²+ f_b²+ f_c²)=0.0036*(400+2500+1600)=16,16

m_v=4,02 м

Ответ: m_v=4,02 м.

4. Среднее значение угла из 6 приёмов имеет среднюю квадратическую погрешность 4,0″. Определить среднюю квадратическую погрешность вероятнейшего угла, полученного из 16 приёмов при тех же условиях?

Дано: n₁=6 приёмов,

n₂=16 приёмов,

m_β1=4″

Найти: m_β2-?

Решение: , отсюда m= m_β1* =9,8″

9,8″/4=2,5″

Ответ: m_β2=2,5″

5. При каком угле наклона при измерении длины линии относительная погрешность поправки за наклон будет 1/2000 при измерении длины с относительной средней квадратической погрешностью 1/4000?

Дано:

Найти:φ-?

Решение: Δ=S-S*cosφ

По принципу «равных влияний»

Ответ:

2.Оценивание точности вектор-функции.

В геодезической практике часто необходимо произвести оценку не одной функции, а нескольких, описывающих совместно какой-либо процесс. Для этого составляют вектор-функцию V, в виде столбца, состоящего из k функций, определяющих процесс:

считая, что погрешности аргументов и теснота связи в виде ковариации или коэффициента корреляции известны, на следующем этапе составляется матрица плана W, состоящая из частных производных по каждой строке в вектор-функции V по всем аргументам-измерениям:

Полученная матрица W называется матрицей Якоби. Тогда, оценка вектор-функции V в виде ковариационной матрицы будет иметь вид , где - ковариационная матрица измерений.

Матрица может быть использована в промежуточных вычислениях для установления тесноты связи между элементами, которые в свою очередь связаны новой функциональной зависимостью.