Розв'язок систем лінійних рівнянь, використання функції lsolve
Векторні та матричні оператори пакета дозволяють розв‘язувати широке коло задач лінійної алгебри. Наприклад, систему лінійних рівнянь можна записати в матричній формі як АХ=В, де Х-вектор змінних (розв‘язки сисеми), А-матриця коефіцієнтів при змінних, В-вектор вільних членів. Тоді розв‘язок такої системи у матричній формі матиме вид Х=А-1В. Так як розв‘язок таких задач досить поширена задача, то в MathCAD введена спеціальна вбудована функція lsolve(A,B), яка повертає вектор невідомих Х для заданої системи лінійних рівнянь (приклад її використання даний на рисунку 5.3).
Рисунок 5.3 - Варіанти розв‘язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Пошук коренів нелінійного рівняння за допомогою функції root
Чисельні рівняння та системи не мають аналітичних розв‘язків, але можуть бути вирішеними чисельними методами із заданою похибкою. Для найпростіших рівнянь (поліноми не вище 5…6 ступеня) виду F(x)=0 розв‘язок знаходять використовуючи функцію root(Ім‘я_функції, Ім‘я_змінної), яка повертає із заданою точністю значення змінної, за яких функція рівна нулю. Функція реалізує обчислення ітераційним методом, при цьому можна задавати початкове значення змінно. Це є досить корисним якщо можливі декілька розв‘язків. Тоді вибір розв‘язку визначається вибором початкового значення змінної.
Рисунок 5.4 ілюструє використання функції root для знаходження коренів кубічного поліному. Як відомо, кубічне рівняння обов'язково має хоча б один дійсний корінь "х1". Його першим знаходять функцією root. Два інших корені можуть бути як дійсними так і комплексними. Функція може знаходити будь-які корені. Тому для пошуку другого кореня "х2" застосовують ділення вихідної функції на дійсний перший корінь"х1" (метод виключення відомих коренів). Відповідно для пошуку третього кореня "х3" необхідно повторити процедуру виключення відомих коренів (розділити функцію на "х2"). Цю процедуру можна поширювати і на пошук коренів поліномів більш високого ступеня.
У версії MathCAD_2000 можливості функції root розширені і вона може записуватися у вигляді: root(Ім‘я_функції, Ім‘я_змінної[a,b]), де [a,b]– границі інтервалу ізоляції коренів. Таке використання даної функції дозволяє виключити пошук коренів, що не цікавлять користувача (наприклад, при вирішенні задач протікання фізико-хімічних процесів).
Рисунок 5.4 - Застосування функцій root і polyroot
Для пошуку коренів звичайного поліному р(х) ступеня n передбачена дуже зручна функція polyroots(V). Вона повертає вектор усіх коренів багаточлена (полінома) ступеня n, коефіцієнти якого складають вектор V довжини n+1.
Якщо поліном має хоча б один дійсний корінь, то результати роботи функцій root та polyroots можна перевірити за допомогою графічних побудов.
Послідовність виконання роботи