- •Неопределенный интеграл Понятие неопределенного интеграла
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Метод непосредственного интегрирования
- •Метод интегрирования способом подстановки (замены переменой)
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Интегралы типа , .
- •Использование тригонометрических преобразований
- •Интегрирование иррациональных функций.
- •Квадратичные иррациональности
- •Дробно – линейная подстановка
- •Интегрирование дифференциального бинома
- •Тригонометрическая подстановка
Неопределенный интеграл Понятие неопределенного интеграла
Рассмотрим задачу: Дана функция . Требуется найти такую функцию , производная которой равна , т.е. .
Определение: Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство или .
Пример. Найти первообразную от функции . Из определения первообразной следует, что функция является первообразной, так как . Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где С – постоянная, поскольку .
Теорема. Если функция является первообразной для функции на , то множество всех первообразных для задается формулой , где С – постоянное число.
Функция является первообразной для . Действительно, .
Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом, по определению .
называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, - знаком неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Геометрически неопределенный интеграл представляет семейство «параллельных» кривых . График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.
Для всякой ли функции существуют первообразные (а значит, и неопределенный интеграл)? Оказывается, что не для всякой. Если функция непрерывна на ,то для этой функции существует первообразная а следовательно, и неопределенный интеграл.
Нахождение первообразной для данной функции f(x) называется интегрированием функции f(x).
Свойства неопределенного интеграла
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если , то и
Производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
, - постоянная.
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций.
Инвариантность формулы интегрирования. Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Таблица интегралов |
|
1. . |
11. . |
2. . |
12. |
3. . |
13. . |
4. . |
14. . |
5. . |
15. . |
6. . |
16. . |
7. . |
17. . |
8. |
18. |
9. . |
19. . |
10. . |
20. |
21. |
При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила.
Если , то
Если то
Если то .
Пример 1.
=
Пример 2.
=
=
Пример 3.
Пример 4.