9.1 Примеры непрерывных и дискретных сообщений. Дискретизация по времени и по уровню
Непрерывное Дискретизация
Волны дискритезазия Частоты
Непрерывное зависит от времени: звук изображение сигналы…
Дискретное: последовательность знаков
Преимущества дискретного: использование с взаимодействием цифровой среды, стандартные коды. Непрерывное сообш. Всегда можно Дискретизировать обрато можно не всегда
Дискретизация по времени U(t) U(tk) «Взятие отсчета» непрерывной величины в данный момент времени tk
(ето правило Найквиста вопрос 9.2)
Выбор шага дискретизация по времени
Выбор шага Δt (и, соответственно, частоты fd) дискретизации по времени выполняется из следующих соображений.
Очевидно, что с уменьшением такой частоты дискретизации пропорционально уменьшается объем передаваемых данных, а значит - время передачи или необходимый для хранения объем памяти. С другой стороны, уменьшая частоту отсчетов сигнала, мы рискуем потерять информацию о высокочастотных составляющих колебаний. На оптимальное решение указывает правило Найквиста-Котельникова.
Частота дискретизации должна выбираться вдвое большей,
чем максимальная частота исходного сигнала:
fd = 2 fmax (3.1)
Это правило имеет простую интуитивно понятную интерпретацию: чтобы восстановить сигнал без потерь, нужно брать как минимум два отсчета на период его наиболее высокочастотной составляющей.
Дискретизация по уровню Шаг дискретизации по уровню Δu определяет максимальное значение погрешности дискретизации. При этом количество дискретных уровней сигнала очевидно можно определить исходя из диапазона его изменения:
N = (Umax - Umin)/ Δu (3.3)
С другой стороны, значение N связано с длиной чисел, которые его представляют, или, иначе говоря – с длиной цифрового кода. В общем случае такая связь устанавливается формулой:
N = mk (3.4)
Где m – основание системы счисления (или объем алфавита кода)
k – количество цифр при записи числа (длина кода).
Например, для N=1000 необходимо три десятичных цифры (N = 103). Действительно, диапазон от 000 до 999 позволяет представить 1000 чисел. Десять двоичных разрядов позволяют закодировать N=1024 значений (N = 210).
Как мы уже знаем, в современной цифровой технической среде передачи сообщений используется двоичное кодирование. Из соотношений (3.3) и (3.4) видно, что при двоичном кодировании увеличение длины кода k на один разряд позволяет увеличить количество уровней дискретизации N в два раза, а значит – вдвое сократить погрешность дискретизации Δu.
Наряду с абсолютной погрешностью Δu для характеристики точности дискретизации используется также относительная погрешность δu. Она характеризует точность дискретного представления конкретного уровня U сигнала, выраженную в % и определяется по формуле:
δu = Δu/U х 100% (3.5)
Например, если значения сигнала кодируются восемью двоичными разрядами (1 байт), то Δu = Umax/28 = Umax/256 (примерно 0,4%). Такая точность может показаться достаточно высокой, однако, необходимо учитывать, что она определяется по отношению к максимальному диапазону сигнала. Вместе с тем, если сигнал сам по себе слаб, то относительная погрешность его дискретизации может оказаться значительной. Так, если Uj ≈ 0,1 Umax, то по при 8-разрядном кодировании погрешность его дискретизации составит уже около 4%. Этого, в частности, недостаточно, чтобы с высоким качеством воспроизводить оцифрованную музыку.
Для выполнения дискретизации сигнала по уровню используют широко распространенные электронные устройства (микросхемы) – аналого-цифровые преобразователи (АЦП). Функция АЦП состоит в получении двоичного кода, который соответствует амплитуде сигнала Uj, поданного на вход преобразователя. В нашем курсе нет возможности рассматривать технические детали. Отметим только, что АЦП имеют достаточное быстродействие, чтобы выполнить преобразование за время значительно меньшее Δt.
9.2 Правило Найквиста выбора частоты дискретизации. Примеры применения правила Найквиста при передаче звуковых сооющений
(см в 9.1)
9.3 Теорема Котельникова о восстановлении дискретизированной зависимости
Указанное правило, впервые обосновал в 1928 году Найквист. Позже оно было дополнено строгим математическим доказательством теоремы Котельникова, которая устанавливает условия точного восстановления сигнала по дискретным отсчетам. Поэтому часто говорят о правиле и теореме Найквиста-Котельникова.
Теорема Котельникова гласит, что непрерывную функцию u(t), которая имеет конечный спектр с максимальной частотой fmax можно без потерь восстановить, по ее дискретным отсчетам u(kΔt), взятым с частотой fd = 1/Δt > 2 fmax,, используя процедуру: u(t) = Σ u(kΔt) sinс [2π fmax (t- kΔt)] (3.2)
Математическая функция sinс (функция Котельникова или “кардинальный синус”) определяется как sinс(x) = sinс(x)/x. Ее вид иллюстрирует рис.3.3. Согласно формуле (3.2) значения дискретных отсчетов u(kΔt) задают амплитуду каждой такой функции.
Рис.3.3. Вид функции Котельникова
Хотя согласно теореме Котельникова fd должна быть строго больше, чем 2 fmax , однако при этом разница между ними может быть как угодно мала. Таким образом, правило (3.1) подтверждается. Однако, при доказательстве использованы математические идеализации, которые не вполне соответствуют характеристикам реальных сигналов. Так, утверждение об ограниченности спектра означает, что сигнал должен существовать на бесконечном интервале времени. Суммирование в формуле ведется также по бесконечному числу слагаемых (k меняется от - ∞ до +∞).
На практике частоту дискретизации с принимают согласно правилу Найквиста с некоторым запасом в сторону увеличения (обычно – порядка 10-20%).
Например, считается, что человеческое ухо не воспринимает звук с частотой выше fmax= 20 кГц. Отсюда – распространенная частота дискретизации звука fd = 44 кГц (≈20х2х1,10).
Правило выбора частоты дискретизации непрерывного сигнала широко используется на практике и его необходимо помнить.