Прямой поперечный изгиб

Определение перемещений при поперечном изгибе:

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки в этом сечении. На практике прогибы балки обычно малы по сравнению с пролётом. Упругой линией называется кривая, в которую превращается прямолинейная ось балки после приложения к ней внешней нагрузки. Уравнение упругой линии в общей форме имеет вид . По своей физической сущности упругая линия должна быть непрерывной и плавной. Угол, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Углы также невелики, обычно не больше . Плоский поперечный изгиб характеризуется двумя величинами: а) перемещением центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, которое носит название прогиба; б) углом поворота сечения или равным ему углом наклона касательной к упругой линии.

Приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

Правило знаков для изгибающих моментов гласит о том, что изгибающие моменты в сечении считаются положительными, если балка изгибается выпуклостью вниз. При условии выбора осей координат, ось должна быть направлена вверх, тогда уравнение приобретает вид

Метод непосредственного интегрирования

дифференциального уравнения:

Последовательным интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси находят уравнение углов поворота

а уравнение прогибов можно представить в виде

Постоянные интегрирования и при решении конкретных задач находятся из граничных условий на концах каждого участка балки. 1) для балок с защемлённым концом прогиб и угол поворота в заделке равны нулю ; . Это граничные условия для определения и . 2) для двухопорных балок прогибы в левой и правой опорах равны нулю . Следовательно, для таких балок это является граничным условием для определения и .

Метод начальных параметров:

Этот метод является развитием предыдущего и отличается от него тем, что постоянные интегрирования определяются в зависимости от условий в начальном сечении балки. Уравнение упругой линии, выраженное через начальные параметры, примет вид

влияние силовых факторов, расположенных левее текущего сечения.

Имея начальные параметры для простейших схем загружения, и пользуясь принципом независимости действия сил, находим начальные параметры для любого случая загружения путём суммирования отдельных влияний. За начальное сечение следует принимать сечение, для которого . Если балка имеет две консоли, то начало координат необходимо принять на левой опоре.

Несимметричный изгиб

Расчёт прочности:

Проверка прочности производится в опасном сечении. Положение опасного сечения при плоском косом изгибе очевидно, так как изгибающие моменты и достигают наибольших значений в одном и том же сечении, которое и является опасным. В случае пространственного изгиба сечения с наибольшими значениями и часто не совпадают. Таким образом, положение опасного сечения не является очевидным и расчёт приходится производить для нескольких сечений, которые можно предположить опасными. В общем случае растягивающие и сжимающие напряжения, возникающие в точках опасного сечения, наиболее удалённых от нейтральной оси, не равны по величине. Поэтому надо составить два условия прочности:

;

.

При использовании материала с одинаковым сопротивлением растяжению и сжатию, когда , достаточно сохранить лишь одно из условий, соответствующее большему по абсолютной величине напряжению. Для сечений с двумя осями симметрии условие прочности можно записать так:

Главные напряжения в общем случае определяются по формулам:

Расчёт на прочность ведётся по наибольшему эквивалентному напряжению .

Определение положения нейтральной линии:

Нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения, но не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента. Положение её определяется по формуле:

, где угол, образуемый нейтральной линией с главной осью сечения ; угол, образуемый плоскостью действия изгибающего момента и главной нейтральной осью сечения ; главные центральные моменты инерции сечения. Угол откладывается от оси в ту же сторону, что и угол от оси .

Уравнение нейтральной оси:

, где координаты точек нейтральной линии по отношению к осям и .

Нормальные напряжения в сечении находятся как алгебраическая сумма нормальных напряжений в рассматриваемой точке, полученных отдельно от каждого составляющего момента ,

, где составляющие полного изгибающего момента, действующие в главных плоскостях; координаты рассматриваемой точки сечения. Знак каждого слагаемого устанавливают по характеру деформации стержня, полагая растягивающие напряжения положительными, сжимающие – отрицательными.

В случае плоского косого изгиба полный прогиб стержня происходит в направлении, перпендикулярном нейтральной линии, т.е. ,

Внутренние усилия, положение силовой линии:

Сложное сопротивление создаётся при сочетании нескольких простых видов деформаций: растяжения или сжатия, сдвига, кручения, изгиба.

Продольная сила , вызывающая в сечении равномерное растяжение или сжатие, равняется сумме проекций на ось всех сил (нагрузок), приложенных к стержню по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Поперечные силы равны проекциям соответственно на оси и внешних сил (нагрузок), приложенных к стержню по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Крутящий момент определяется как сумма моментов относительно оси сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Изгибающие моменты равны сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, соответственно по отношению к осям и .

Замечание!

Рассматривая конкретное поперечное сечение и определив растягивающие и сжатые слои в вертикальных и горизонтальных плоскостях качественно проводим силовую линию через четверти, где оба напряжения положительны и оба – отрицательны.

Определение опасного сечения:

Для определения опасного сечения необходимо перебрать варианты:

1. сечение, где действует наибольший вертикальный изгибающий момент;

2. сечение, где действует наибольший горизонтальный изгибающий момент;

3. сечения, где оба момента одновременно достаточно велики, не достигая экстремума.

пункт 3, как правило, является проверочным!

Внецентренное растяжение

Положение нейтральной линии:

Изгибающие моменты и могут быть вызваны не только поперечной нагрузкой, но и силами, параллельными оси стержня, приложенными внецентренно, т.е. на некотором расстоянии от оси. Пусть сила , параллельная оси стержня, пересекает поперечное сечение стержня в точке с координатами относительно главных центральных осей и сечения.

Уравнение нейтральной оси

Для построения нейтральной линии вычисляются отрезки, отсекаемые ею на главных осях: .

Нейтральная линия расположена по другую сторону центра тяжести сечения, чем точка , через которую проходит линия действия продольной силы. Если точка приложения силы приближается к центру тяжести, то нейтральная линия удаляется от него, и наоборот. Если точка приложения силы перемещается по некоторой прямой, то нейтральная линия вращается вокруг некоторой точки. В том случае, когда точка приложения силы находится на главной оси сечения, нейтральная линия располагается перпендикулярно этой оси.