5 Циркуляция вектора магнитной индукции. Возьмем контур l (рис. 2.8), охватывающий прямой ток I, и вычислим для него циркуляцию вектора магнитной индукции , т.Е. .

Рис. 2.8

      Вначале рассмотрим случай, когда контур лежит в плоскости перпендикулярно потоку (ток I направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор  направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку (линии  прямого тока – окружности).

      Воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов.

        где  – проекция dl на вектор ,  но , где R – расстояние от прямой тока I до dl.

.

      Отсюда

,

(2.6.1)

      это теорема о циркуляции вектора :  циркуляция вектора магнитной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную.

      Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 2.9).

      При обходе радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (1–2), а потом в другом (2–1). Поэтому , и следовательно

,

(2.6.2)

Рис. 2.9

      Итак,    ,  где I – ток, охваченный контуром L.

      Эта формула справедлива и для тока произвольной формы, и для контура произвольной формы.

      Если контур охватывает несколько токов, то

,

(2.6.3)

т.е. циркуляция вектора  равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром произвольной формы.

      Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля  позволяет легко рассчитать величину В от бесконечного проводника с током (рис. 2.10):    .

Рис. 2.10

      Итак, циркуляция вектора магнитной индукции  отлична от нуля, если контур охватывает ток (сравните с циркуляцией вектора : ).

Такие поля, называются вихревыми или соленоидальными.

      Магнитному полю нельзя приписывать потенциал, как электрическому полю. Этот потенциал не был бы однозначным: после каждого обхода по контуру он получал бы приращение .

      Линии напряженности электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. А магнитных зарядов в природе нет. Опыт показывает, что линии  всегда замкнуты (см. рис. 1.2. и 1.7). Поэтому теорема Гаусса для вектора магнитной индукции  записывается так:

.

Действие магнитного поля на токи и заряды.

1 Закон Ампера. Закон Ампера устанавливает, что на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, индукция которого В, действует сила, пропорциональная силе тока и индукции магнитного поля:

F = BIlsina (a - угол между направлением тока и индукцией магнитного поля ). Эта формула закона Ампера оказывается справедливой для прямолинейного проводника и однородного поля.

Если проводник имеет произвольную формулу и поле неоднородно, то Закон Ампера принимает вид:

dF = I*B*dlsina

Закон Ампера в векторной форме:

dF = I [dl B]

Сила Ампера направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы dl и B.

Для определения направления силы, действующей на проводник с током, помещенный в магнитное поле, применяется правило левой руки.

2 Рамка с током в магнитном поле. На рамку с током I, помещенную во внешнее однородное магнитное поле с индукцией действует момент сил Момент сил выражается соотношением:

M = I S B sin α = p_mB sin α ,

где S – площадь рамки, α – угол между нормалью к плоскости рамки и вектором Векторная величина где – единичный вектор нормали, называется магнитным моментом рамки. Направление вектора связано с направлением тока в рамке правилом правого винта.

Компьютерная модель демонстрирует возникновение момента сил, действующего на рамку с током в магнитном поле. Значение момента сил может быть определено при различных ориентациях рамки относительно магнитного поя. При выполнении компьютерных экспериментов можно изменять индукцию магнитного поля, площадь рамки (с помощью мыши) и ее ориентацию.

3 Сила Лоренца. Силу, действующую на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля, называют силой Лоренца в честь великого голландского физика Х. Лоренца (1853 — 1928) — основателя электронной теории строения вещества. Силу Лоренца можно найти с помощью закона Ампера.

Модуль силы Лоренца равен отношению модуля силы F, действующей на участок проводника длиной Δl, к числу N заряженных частиц, упорядоченно движущихся в этом участке проводника:

Рассмотрим отрезок тонкого прямого проводника с током. Пусть длина отрезка Δl и площадь поперечного сечения проводника S настолько малы, что вектор индукции магнитного поля можно считать одинаковым в пределах этого отрезка проводника. Сила тока I в проводнике связана с зарядом частиц q, концентрацией заряженных частиц (числом зарядов в единице объема) и скоростью их упорядоченного движения v следующей формулой:

I = qnvS ( 2 )

Модуль силы, действующей со стороны магнитного поля на выбранный элемент тока, равен:

F = | I |B Δl sin α

Подставляя в эту формулу выражение ( 2 ) для силы тока, получаем:

F = | q | nvS Δl B sin α = v | q | NB sin α,

где N = nSΔl — число заряженных частиц в рассматриваемом объеме. Следовательно, на каждый движущийся заряд со стороны магнитного поля действует сила Лоренца, равная:

где α — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции. Сила Лоренца перпендикулярна векторам магнитной индукции и скорости упорядоченного движения заряженных частиц. Ее направление определяется с помощью того же правила левой руки, что и направление силы Ампера.

Так как сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы, то она не совершает работы. Согласно теореме о кинетической энергии это означает, что сила Лоренца не меняет кинетическую энергию частицы и, следовательно, модуль ее скорости. Под действием силы Лоренца меняется лишь направление скорости частицы.

4 Эффект Холла. Американский ученый Э.Холл обнаружил, что в проводнике, помещенном в магнитное поле, возникает разность потенциалов (поперечная) в направлении, перпендикулярном вектору магнитной индукции B и току I, вследствие действия силы Лоренца на заряды, движущиеся в этом проводнике.

Эффект Холла

Опыт показывает, что поперечная разность потенциалов пропорциональна плотности тока j, магнитной индукции и расстоянию d между электродами:

U = RdjB

(R - постоянная Холла, зависящая от рода вещества)

Постоянная Холла зависит от концентрации электронов

R = 1/(ne)

5 Движение заряженных частиц в магнитном поле. Формула силы Лоренца дает возможность найти ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле. Зная направление силы Лоренца и направление вызываемого ею отклонения заряженной частицы в магнитном поле можно найти знак заряда частиц, которые движутся в магнитных полях. Для вывода общих закономерностей будем полагать, что магнитное поле однородно и на частицы не действуют электрические поля. Если заряженная частица в магнитном поле движется со скоростью v вдоль линий магнитной индукции, то угол α между векторами v и В равен 0 или π. Тогда сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует и она движется равномерно и прямолинейно. В случае, если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v, которая перпендикулярна вектору В, то сила Лоренца F=Q[vB] постоянна по модулю и перпендикулярна к траектории частицы. По второму закону Ньютона, сила Лоренца создает центростремительное ускорение. Значит, что частица будет двигаться по окружности, радиус r которой находится из условия QvB=mv²/r , следовательно (1) Период вращения частицы, т. е. время Т, за которое она совершает один полный оборот, Подствавив (1), получим (2) т. е. период вращения частицы в однородном магнитном поле задается только величиной, которая обратна удельному заряду (Q/m) частицы, и магнитной индукцией поля, но при этом не зависит от ее скорости (при v<<c). На этом соображении основано действие циклических ускорителей заряженных частиц. В случае, если скорость v заряженной частицы направлена под углом α к вектору В (рис. 170), то ее движение можно задать в виде суперпозиции: 1) прямолинейного равномерного движения вдоль поля со скоростью v_parall=vcosα ; 2) равномерного движения со скоростью v_perpend=vsinα по окружности в плоскости, которая перпендикулярна полю. Радиус окружности задается формулой (1) (в этом случае надо вместо v подставить v_perpend=vsinα). В результате сложения двух данных движений возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю (рис. 1). Шаг винтовой (спиральной) линии Подставив в данное выражение (2), найдем Направление, в котором закручивается спираль, определяется знаком заряда частицы. Если скорость v заряженной частицы составляет угол α с направлением вектора В неоднородного магнитного поля, у которого индукция возрастает в направлении движения частицы, то r и h уменьшаются с увеличением В. На этом основана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле.

6 Магнитный поток. МАГНИТНЫЙ ПОТОК - поток Ф вектора магнитной индукции В через к--л. поверхность S:

Здесь dS - элемент площади, п - единичный вектор нормали к S. В СИ М. п. измеряется в веберах (Во), в гауссовой системе единиц (к-рая применяется ниже) - в максвеллах (Мкс); 1 Вб=10⁸ Мкс. Поскольку вектор В является чисто вихревым , М. п. через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю. Это свойство, установленное Гауссом, может нарушаться только при наличии внутри S магнитных монополей, пока ещё гипотетических.

Изменение во времени М. п. ведёт, согласно Максвелла уравнениям (в интегральной форме), к возникновению вихревого электрич. поля Е, циркуляция к-рого по замкнутому контуру l, ограничивающему поверхность S, равна

Здесь направление обхода по l связано с направлением нормали п к S правилом правого винта.

Для проводящих контуров, изготовленных из материалов с достаточно высокой проводимостью (напр., из металлич. провода), соотношение (2) в квазистатич. приближении соответствует закону электромагнитной индукции Фарадея:

где -эдс эл--магн. индукции, - М. п., "сцепленный" с проводящим контуром, т. е. М. п., усреднённый по всем поверхностям S_i, опирающимся на линии тока в контуре. В отличие от (2), в (3) берётся полная производная от М. п. по времени в соответствии с тем, что эдс индукции возникает не только при изменении магн. поля во времени, но и при движении проводящего контура поперёк магн. поля, при вращениях и деформациях контура.

М. п., сцепленный со свсрхпроводящим контуром, постоянен во времени и может принимать лишь дискретные (квантованные) значения: , где h - постоянная Планка, е - заряд электрона, и - целое число (см. Квантование магнитного потока ).Величина кванта М. п. указывает на то, что носители электрич. тока в сверхпроводнике (куперовские пары) имеют заряд 2е.

М. п. может направляться стержнями (обычно ферромагнитными) с магнитной проницаемостью (см. Магнитная цепь ),подобно тому как электрич. ток направляется проводами с большой электропроводностью. На границе магнитопровода с окружающим пространством (вакуумом) непрерывна нормальная компонента вектора магн. индукции: - внутр. и внеш. поле магн. индукции), а тангенциальная составляющая терпит скачок: . Поэтому при и при почти произвольной ориентации внеш. магн. поля (исключение составляет случай, когда поле нормально к границе) вектор магн. индукции почти параллелен границе и его величина много больше , а М. п. слабо меняется вдоль магнитопровода. Это свойство ферромагн. материалов широко используется в электротехнике для сосредоточения и переноса М. и. (напр., в трансформаторах, пост. магнитах, якорях электродвигателей).

7 Механическая работа в магнитном поле. Так как на проводник с током в магнитном поле действуют силы Ампера, то при перемещении проводника эти силы совершают работу. Пусть в однородном магнитном поле проводник длиной  совершает поступательное движение в направлении, перпендикулярном направлению вектора  (рис. 4.14). Для простоты будем считать, что этот проводник скользит по двум параллельным шинам и замыкает электрическую цепь. Вектор индукции магнитного поля направлен к нам. Тогда сила Ампера направлена вправо, и при перемещении проводника с током на расстояние  совершается работа

.

Произведение  равно площади контура S между двумя положениями подвижного проводника, а  – изменение магнитного потока, пронизывающего контур при движении проводника . Следовательно, работа силы Ампера может быть выражена через силу тока I и изменение магнитного потока :

(4.3)

Полученный результат можно применить для подсчета работы в случае неоднородного поля. Для этого, используя выражение (4.3), можно посчитать работу силы Ампера на тех участках, на которых поле можно считать однородным, а затем просуммировать работы на отдельных участках. В результате можно получить, что результирующая работа сил Ампера равна

,

где разность  равна изменению магнитного потока через поверхность контура, то есть разности потоков вектора магнитной индукции в конечном и начальном положениях контура.

Электродинамика.