Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

билеты по матану

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

02.08.2019

Размер:

394.89 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Предел функции

определена в открытом интервале , содержащем точку , за исключением может быть самой точки

Определение

Число А называется пределом функции в точке x₀ (или при x–>x₀) если для любого ε>0 найдется δ>0, такое что для всех x, удовлетворяющих условию |x-x₀|<δ, x≠x₀ справедливо неравенство |f(x)-A|<ε

Предел на бесконечности

Число А называется пределом функции при x–>∞ если для любого положительного ε (ε>0) найдется δ>0, такое что для всех x, удовлетворяющих условию |x|>δ, справедливо неравенство |f(x)-A|<ε

Бесконечно малая функция

Функция называется бесконечно малой в точке a, если

Бесконечно большая функция

Функция называется бесконечно большой при x–>x₀, если (обратная величина к бесконечно малой)

Если – б.б. при , то в окрестности точки функция не является ограниченной, обратное утверждение неверно, т.е. функция может быть неограниченна, но не быть бесконечно большой.

Если при является бесконечно большой ( ) и

, то

Свойства бесконечно малых:

Сумма бесконечно малых бесконечно мала

– бесконечно малая

Произведение бесконечно малой на ограниченную является бесконечно малой

Функция называется ограниченной в точке на некотором промежутке , если для любого из этого промежутка выполняется неравенство , где – какое-то фиксированное число. Пример: (ограничена на любом промежутке, т.к. )

– бесконечно малая

– бесконечно малая равносильны

( )

Произведение бесконечно малых является бесконечно малым

– бесконечно малая

ограничена в районе точки

– бесконечно малая

Свойства пределов:

Предел суммы равен сумме пределов

Если , то

Доказательство:

– б.м.

– сумма бесконечно малых бесконечно малая

Предел произведения равен произведению пределов

Если , то

, имеющая предел в точке , ограничена в окрестности этой точки

Доказательство:

Постоянный множитель выносится за знак предела

Предел частного равен частному предела, если предел знаменателя отличен от нуля

Если , то

Доказательство:

– ?

– б.м?

– ограничена при

Односторонние пределы

Если в определении предела вместо условия |x-a|<δ, x≠a наложить условие a<x<a+δ, то мы получим односторонний предел

Если a-δ<x<a, то мы получим предел слева

Если предел слева и справа совпадают, то существует общий предел

Основные пределы анализа (Замечательные пределы)

Доказательство:

Теорема о сжатой переменной

Если при , и

, тогда

случай . Рассмотрим единичную окружность

При

Тогда

Если , то

Доказательство:

С ледствие:

Доказательство:

Эквивалентные БМФ

Бесконечно малые функции и называются эквивалентными, если при ,

При вычислении предела произведения и частного бесконечно малые можно заменять на эквивалентные

Доказательство:

Замечание: В сумме или разности заменять бесконечно малые на эквивалентные вообще говоря нельзя

Непрерывные функции

Пусть точка x₀ является внутренней точкой области определения функции y=f(x)

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если

Все элементарные функции непрерывны во внутренних точках области определения

Элементарные функции:

степенные:
показательные:
логарифмические:
основные тригонометрические:
обратные тригонометрические

f(x) называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна во всех точках этого промежутка

Классификация точек разрыва

Т очки, в которых функция является не непрерывной, называются точками разрыва (подразумевается, что функция определена в окрестности точки разрыва)

предел существует, но функция в точке x₀ не определена

В это случае точка x₀ называется точкой устранимого разрыва

скачок

Точка x₀ называется точкой скачка функции f(x), если в этой точке пределы слева и справа существуют, но не равны между собой

Устранимые разрывы и скачки называются разрывами первого рода

x₀ называется точкой бесконечного разрыва функции, если
x₀ называется точкой существенного(неустранимого) разрыва функции f(x), если не существует ни в конечном, ни в бесконечном виде

Бесконечные и неустранимые разрывы называются разрывами второго рода

Производная*

Производной функцией в точке называется

Функция должна быть определена в самой точке a и в ее окрестности

Геометрический смысл производной

В пределе секущая становится касательной к графику функции. Касательная – это предельное положение соответствующей секущей. При малых секущая идет практически по графику функции.

Геометрический смысл производной состоит в том, что она совпадает с tg угла наклона касательной к графику функции в точке x₀

Производная отвечает за возрастание и убывание функции. Там, где производная положительна, функция возрастает (причем, тем быстрее, чем производная). Там, где производная отрицательна, функция убывает

Табличные производные*

Свойства производных*

Дифференцирование – линейная операция

Производная произведения

Производная частного

Производная сложной функции

сложная функция

Доказательство:

Производная обратной функции

Дифференциал

- дифференциал функции y

Дифференциалом функции в точке называется

Дифференциал является функцией двух аргументов:

Свойства дифференциалов:

Дифференциал является главной частью приращения функции

( )

– б.м.

при малых :

Если , то

Теорема Лагранжа (Формула конечных приращений)

П усть функция непрерывна и дифференцируема на промежутке , тогда внутри промежутка найдется точка c, такая что:

Теорема Лагранжа утверждает, что на кривой найдется такая точка с, в которой касательная параллельна хорде AB

– формула конечных приращений

Монотонные функции*

Убывающие или возрастающие функции называются монотонными

Функция называется монотонно возрастающей на промежутке , если для любых и выполняется неравенство

строго возрастающая

нестрого возрастающая

Функция называется монотонно убывающей на этом промежутке, если (строго убывающая)

Теорема Лагранжа (достаточное условие монотонности функции)

Если для всех точек промежутка

, то функция возрастает

, то функция убывает

Доказательство:

Зафиксируем любые точки и на интервале, такие что

Согласно теореме Лагранжа: , где

По условию на всем интервале . Следовательно,

, т.к.

Тогда => => функция убывает

Промежутки монотонности дифференцируемой функции

На промежутках, где производная сохраняет знак, функция является монотонной. Таким образом, промежуток монотонного возрастания может смениться промежутком монотонного убывания только в тех точках, где производная меняет знак ( или не существует)

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания дифференцируемой функции необходимо:

взять ее производную
найти точки, в которых производная равна нулю или терпит разрыв
посмотреть на знаки производной между этими точками

Экстремум*

Точка называется точкой экстремума функции, если:

она является внутренней точкой ООФ
промежуток возрастания в этой точке сменяется промежутком убывания или наоборот

Необходимое условие для наличия экстремума

Необходимым условием для наличия экстремума функции одного аргумента является обращение в нуль (или разрыв) производной этой функции

Если промежуток возрастания сменяется промежутком убывания, то точка экстремума называется максимумом (локальным)

Если промежуток убывания сменяется промежутком возрастания, то точка экстремума называется минимумом(локальным)

Замечание:

Максимум и минимум не нужно путать с наибольшим и наименьшим значением функции на промежутке

Острый экстремум – точка разрыва производной. К такому экстремуму нельзя построить касательную

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя годится для раскрытия неопределенности типа , косвенно и для других видов

Если , то

Замечание:

Правило Лопиталя можно применять в случае, если
Правило Лопиталя применяется и в случае неопределенности типа

Правило Лопиталя применяется ко всем другим типам неопределенности

Частная производная*

Рассмотрим функцию . Зафиксируем переменную y:

Тогда мы получим функцию от одной переменной x. Производная этой функции по переменной x называется частной производной z по x

;

Геометрический смысл частных производных

Частная производная отвечает за возрастание и убывание функции в направлении переменной (т.е. когда фиксирована). Точно также отвечает за возрастание и убывание функции в направлении переменной (т.е. когда фиксирована).