1. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Мощность множества. Примеры.

МНОЖЕСТВО является неопределимым понятием математики как точка, прямая и плоскость. Вы столкнетесь с ним практически во всех науках – математике, физике, химии, истории и т.д. Множество можно описать как совокупность некоторых объектов (элементов множества), объединенных по какому-либо признаку.

ПРИМЕР. N={1, 2, 3, …}; Z={… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}; множество геометрических тел; множество геометрических фигур; алфавит; множество парт в аудитории; множество продуктов в магазине и т.д.

Множество, элементами которого являются другие множества, называется КЛАССОМ или СЕМЕЙСТВОМ.

В классе все элементы имеют различную природу образования, но у них есть хотя бы одно общее свойство.

ПРИМЕР. Семейство АУДИТОРИЯ имеет следующие элементы:

Множество парт

Множество ламп

Множество элементов питания

Множество студентов и т.д.

Заметим, что элемент «множество студентов» непостоянный. Его может и не быть в данном классе. Тем не менее, все они присутствуют в аудитории.

ОБОЗНАЧЕНИЯ: элементы множеств – строчные латинские символы с натуральными индексами;

множества – заглавные печатные латинские буквы;

семейства – заглавные «рукописные» латинские буквы.

В общем – то, особого значения обозначению класса и множества не придается.

Множества могут быть конечными (состоящими из конечного числа элементов) и бесконечными. Количество элементов в конечном множестве называется его мощностью и обозначается |А|. О мощности бесконечного множества мы поговорим позднее.

Множество нулевой мощности, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается . Оно введено для удобства: лучше сказать, что множество пусто, чем объявить его несуществующим. В нашем примере множество студентов в аудитории может быть пустым.

Множества, имеющие одинаковое количество элементов, называются равномощными.

Класс всех рассматриваемых множеств называется универсальным множеством или универсумом (обозначается U).

Элементы множества не могут повторяться: А={1,2,1,4,6} не является описанием множества. Сразу возникает вопрос о способах описания (задания) множества.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВА.

1. диаграммы Эйлера-Венна. Это графическое изображение множеств в универсуме. Универсум изображается прямоугольником, внутри которого располагаются множества, иллюстрирующиеся овалами. Результирующее множество выделяется штриховкой.

U

B

A

2. перечисление элементов. А={а₁ а₂ а₃ а₄ а₅ а₆}. Списком можно задавать только конечные множества. В данном случае последовательность элементов множества в произвольном порядке записывается в фигурных скобках. Множество целых чисел от n до m обозначается А_n..m

ПРИМЕР. D_{-3.. 3} ={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

3. характеристический предикат. А={х| P(x)}. Это описание свойств элементов данного множества, где Р(х)- некоторое логическое выражение с логическим значением. Если результат Р(х) положителен (истинен), то элемент принадлежит множеству.

ПРИМЕР. D={nZ| -4<n<4}

Такие задания могут приводить к противоречиям, таким как парадокс Рассела: класс всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: А={B| BB}. Имеем: АА, тогда АА и обратно: АА, тогда АА. (Задача о лгунах: я всегда вру.)

4. порождающая процедура. А={х| х=F}. Здесь F – процедура, при работе которой появляются элементы множества.

ПРИМЕР. А={1, 2, 4, 8, 16, …}={n| 1A (nA2nA)}

Такое задание также называется рекурсивным. В курсе общей математики способ носит название математической индукции.