14. Морфизмы алгебр. Виды морфизмов.

Алгебры с разными типами имеют разное строение. Это понятно и так. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то встает вопрос об их сходствах, которые называются морфизмы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Пусть А=< А, φ₁ φ₂… φ_n> и В=<B, ψ₁,…, ψ_n>-две алгебры. Если существует функция

f: АВ, такая, что i=1,2,…n f(φ_i(a₁,…a_n))= ψ_i(f(a₁)… f(a_n)), то эта функция называется гомоморфизм из алгебры А в В.

Иными словами, условие гомоморфизма можно представить как композиции φ˚f = f˚ψ.

ПРИМЕР: 1) отображение участков местности на карту гомоморфно, т.к. на местности задано отношение «быть выше», а на карте «быть темнее». Более высокому участку местности соответствует более темная точка карты. Участки одинаковой высоты имеют одинаковый цвет.

2) <N, +>; <N₁₀, +₁₀> проверим условие гомоморфизма:

Пусть n=10a₁+b₁, m=10a₂+b₂, тогда f(n+m)=f(10a₁+b₁+10a2+b₂)=f(b₁+b₂)= b₁+₁₀ b₂=f(n)+₁₀f(m).

ВИДЫ ГОМОМОРФИЗМОВ.

1. гомоморфизм на инъективном соответствии – мономорфизм

2. на сюръективном соответствии – эпиморфизм

3. на взаимно-однозначном соответствии – изоморфизм

отсюда понятно, что если бинарная функция – изоморфизм, то и обратная ей тоже изоморфизм.

ТЕОРЕМА. Отношение изоморфизма на множестве однотипных алгебр является эквивалентностью.

1. рефлексивность: если f=I, то А≡А

2. симметричность: f:А≡В=>f ^-1: B≡A

3. транзитивность: f:А≡В и g: B≡C=>fg: А≡C

Алгебры принято рассматривать с точностью до изоморфизма.

15. Функция. Виды функций. Формулы.

Функциональное соответствие, при котором каждому прообразу соответствует единственный образ, называется функцией.

Прообразы называются аргументами, образы – значениями функции.

Область определения функции (f_A) – множество А, область значений функции (f_B) – множество В. Говорят, что всюду определенная функция отображает множество А в (на) множество В.

ОБОЗНАЧЕНИЕ. f: AB или f(A)=B.

Функция, областью определения которой является прямое произведение n множеств, называется n-местной: f: A₁ A₂ A₃ A₄… A_nB.

Мы будем рассматривать одноместные функции, т.к. многоместные функции имеют те же самые свойства, что и одноместные.

Итак, пусть f: AB, тогда

f – инъекция, если у каждого значения функции единственный аргумент. (всюду определенное соответствие)

f – сюръекция, если у каждого аргумента имеется свое значение функции. (сюръективное соответствие)

f – биекция, если у каждого значения функции единственный аргумент и у каждого аргумента единственное значение функции. (взаимно-однозначное соответствие)

Если |В|=1, то это функция-константа.

Отображение типа AА часто называют преобразованием множества А.

Две функции f и g равны, если f_A=g_A и аА f(a)=g(a).

ПРИМЕРЫ. 1) нумерация элементов счетного множества есть отображение этого множества на N.

2) . Данная функция частично определена, если имеет тип f: NN, но полностью определена, если ее тип NR.

2) Множество студентов вуза на множество фамилий вуза (сюръекция);

Множество студентов группы в множество фамилий вуза (инъекция)

Пусть даны две функции f(x) и g(x). Если f(a)=b и g(b)=a, то функция g называется обратной к функции f и обозначается как f ^-1. Понятно, что область значений f совпадает с областью определения g и наоборот. Отсюда ясно, что обратную функцию может иметь только биективная функция.

Поскольку функция – это частный случай соответствия, то для нее можно сформулировать определение композиции (подстановки значения одной функции в другую, в математике это понятие сложной функции):

Из двух функций f: АВ и g: ВС можно построить композицию f ˚g: А С так, что h(x)=fg(x)=g(f(x)).

ПРИМЕР. f(x)=cos(x); g(x)=ln(x); h₁(x)= (g˚f )(x)=f(g(x))=f(ln(x))=cos(ln(x)); h₂(x)= (f˚g)(x)=g(f(x))=g(cos(x))=ln(cos(x)).

Для многоместных функций возможны различные варианты подстановки f в g, дающие функции различных типов. Особый интерес представляет случай, когда задано множество функций типа f₁: A^m1A, …, f_n AmnA. В этом случае кроме подстановок функций друг в друга мы имеем право переименовывать аргументы. ПРИМЕР. f(x₁, x₂, x₃, x₄) заменой x₂ на x₃ получим f(x₁, x₃, x₃, x₄).

Функция, полученная из системы функций f₁, …, f_n некоторой композицией и переименованием аргументов, называется суперпозицией f₁, …, f_n. Выражение, описывающее суперпозицию называется формулой.

Также всякая функция, будучи подмножеством прямого произведения (также как и отношение), имеет ядро.

Ker f = f ˚ f ^-1.

Ядро функции является отношением эквивалентности.

Т. Е. оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.