1. Определение матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В дальнейшем для записи матрицы будут применяться обозначение:

2. Действиянадматрицами.

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов.

С = А + В

c_ij = a_ij + b_ij

Аналогичноопределяетсяразностьматриц.

Умножение матрицы на число:

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что b_ij = k × a_ij.

В = k × A

b_ij = k × a_ij.

Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что

с_ik = a_i1 × b_1k + a_i2 × b_2k + ... + a_in × b_nk,

т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.

3. Транспонированнаяматрица

С каждой матрицей A = (a_ij) размера связана матрица B = (b_ij) размера вида

Такая матрица называется транспонированной матрицей для A и обозначается так A^T. Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A = (a_ij) размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .

4. Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.

В случае квадратной матрицы вводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.

Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

5. Понятие единичной матрицы:

Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.

6. Элементарные преобразования матриц

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц.

Элементарными преобразованиями строк называют:

перестановка местами любых двух строк матрицы;

умножение любой строки матрицы на константу , ;

прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка местами двух строк матрицы не вносятся в определение элементарных преобразований так как перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить используя умножение любой строки матрицы на константу , . и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).