Приложение II. Топологические методы расчета электрических схем.

1. Основные понятия и определения.

Граф электрической схемы – условное изображение схемы электрической цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками – ветвями графа, а узлы – точками-узлами графа.

Узлы и ветви графа соответствуют узлам и ветвям электрической схемы (рис.6). Подграф схемы – часть графа схемы.

Рис.6

Направленный граф схемы – граф с указанием условно-положительных направлений токов или напряжений в виде отрезков со стрелками.

При составлении графа ветви, содержащие только идеальные источники напряжения (тока), необходимо преобразовывать.

Дерево графа схемы – любая совокупность ветвей графа, соединяющих все его узлы без образования контуров. Заданный граф имеет несколько деревьев. Число возможных деревьев n_д равно определителю y, составленному по методу узловых потенциалов, если считать, что проводимость каждой ветви схемы равна единице. Например, число возможных деревьев графа рис.6,б n_д=16.

Величина дерева – произведение проводимостей всех ветвей дерева.

Сумма величин всех деревьев равна определителю матрицы узловых напряжений.

Ветвь связи (главная ветвь) – ветвь графа, не принадлежащая дереву.

Величина связи – Произведение сопротивлений всех ветвей связи. Сумма величин всех связей равна определителю матрицы контурных токов.

Главный контур (независимый контур) – образован ветвями дерева и одной ветвью связи.

Путь графа – непрерывная последовательность ветвей, проходящих не более одного раза через каждый узел. Для графа (рис.6,б) путь между узлами II и III образован ветвями: 2; 5-3; 1-4-3; 1-6.

Сечение графа – совокупность ветвей, рассечение которых делит граф на два изолированных подграфа.

Ветви 1-4-6; 1-5-2 образуют сечение (рис.7,а). Сечением может быть изолированный узел.

Рис.7

Главное сечение графа содержит ветви связи и только одну ветвь дерева. Номер сечения соответствует номеру ветви дерева, пересекаемой сечением. За положительное направление сечения обычно принимают направление ветви дерева (рис.7,б).

2. Топологические матрицы графа.

Геометрия каждого графа может быть описана несколькими матрицами (таблицами чисел). В литературе нет единого названия и обозначения каждой матрицы. При расчете используют матрицу соединений, контурную матрицу, матрицу главных сечений, матрицы параметров ветвей и др.

Матрица соединений.

Данная матрица (структурная или узловая матрица) определяет схему электрической цепи и является таблицей коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки матрицы соответствуют узлам, А столбцы – ветвям направленного графа схемы. Различают полную матрицу соединений А_п и просто матрицу соединений А. В полной матрице соединений число строк соответствует числу всех узлов графа, а в матрице соединений – числу независимых узлов. Матрица А может быть получена, если в матрице А_п вычеркнуть одну из строк. Узел, соответствующий вычеркнутой строке, называют базисным. Таким образом, матрицу соединений А составляют для независимых узлов графа, она содержит в качестве элементов +1, -1, и 0.

Если ветвь m направлена от узла n, то в клетку пересечения m-го столбца и n-й строки записывают +1; если ветвь m направлена к узлу n, то в соответствующей клетке записывают –1. Если ветвь m не соединена с узлом n, то в клетке пересечения ставят 0.

Матрица соединений для графа с базисным узлом IV (см. рис. 5.2.) представлена табл. 5.1.

Таблица 5.1

Узлы	Ветви
	1	2	3	4	5	6
I	+1	0	0	+1	0	-1
II	-1	+1	0	0	+1	0
III	0	-1	-1	0	0	+1

Контурная матрица B.

При составлении контурной матрицы выбирают направление обхода независимых контуров графа. Число строк контурной матрицы равно числу независимых контуров, а число столбцов – числу ветвей графа. Если направление обхода контура k совпадает с направлением ветви l, входящей в этот контур, то в клетку пересечения k-й строки и l-го столбца записывают +1, если направление ветви противоположно направлению обхода контура, то в соответствующую клетку вписывают –1. Если же ветвь l не входит в контур k, то в эту клетку ставят 0. Для графа рис.5.2. контурная матрица составления при обходе контуров по часовой стрелке дана табл. 5.2.

Таблица 5.2

Кон- туры	Ветви
	1	2		3	4	5	6
I	+1		0	0	-1	+1	0
II	0		+1	-1	0	-1	0
III	0		0	+1	+1	0	+1

Матрица главных сечений Q.

Данную матрицу можно представить в виде таблицы коэффициентов уравнений, составленных по первому уравнению Кирхгофа для главных сечений. Строки матрицы соответствуют сечениям, столбцы – ветвям. В клетке пересечений i-й строки и j-го столбца записывают +1,если j-я ветвь имеет то же направление по отношению к сечению, что и ветвь дерева. В противном случае в эту клетку ставят –1. Если ветвь не входит в сечение i, то в соответствующую клетку ставят 0.

Для графа рис. 5.7 и выбранного дерева с ветвями 1-5-2 матрица главного сечения представлена табл. 5.3.

Таблица 5.3

Главное сечение	Ветви
	1	2	3	4	5	6
1	+1	0	0	+1	0	-1
2	0	+1	+1	0	0	+1
5	0	0	+1	+1	+1	0

К матрицам параметров ветвей относят матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей, а также столбцовые матрицы источников э.д.с. и токов, матрицу токов ветвей.

Матрица сопротивлений ветвей Zв.

В этой матрице номера строк и столбцов соответствуют номерам ветвей. На пересечении m-й строки и n-го столбца записывают сопротивления взаимной связи m-й и n-й ветвей. Матрица сопротивлений всегда квадратная, по ее диагонали записывают собственное сопротивление ветвей.

Если взаимные связи отсутствуют, то матрица диагональная. Для цепи счетырьмч ветвями без взаимных связей матрица сопротивлений

.

Чтобы получить более упорядоченную матрицу, целесообразно сначала нумеровать все индуктивные элементы, затем емкостные и наконец резистивные элементы. Число ветвей (порядок матрицы) равно числу элементов.

В табл. 5.4 записана матрица сопротивлений для схемы рис. 5.8.

Таблица 5.4

Ветви	1	2	3	4	5	6	7
1			0	0	0	0	0
2				0	0	0	0
3	0			0	0	0	0
4	0	0	0		0	0	0
5	0	0	0	0		0	0
6	0	0	0	0	0	R0	0
7	0	0	0	0	0	0	R7

Рис.5.8

Для уменьшения порядка матрицу Z_в целесообразно разбить на подматрицы, каждую из которых можно обозначить соответственно Z_L, Z_C, Z_R:

.

Матрица проводимостей ветвей Y_в.

Эта матрица, обратная матрице сопротивлений Z_в: Y_в=Z^-1_в. При индуктивных связях элементы матрицы Y_в не равны проводимостям ветвей. Данная матрица симметрична относительно диагонали, если соблюдается свойство взаимности.

Матрица э.д.с. источников E.

Это столбцовая матрица, число строк которой равно числу ветвей графа. Э.д.с. E записывают с положительным знаком в соответствующей строке, если ее напрвление совпадает с выбранным направлением ветви:

.

Матрица источников тока J.

Эта матрица является столбцовой, число строк которой равно числу строк графа. Ток источника в матрице имеет знак плюс, если при обходе контура, образованного источником тока и параллельной ему ветвью, в направлении ветви заданное направление источника тока совпадает с направлением обхода:

.

Матрица токов ветвей I_в.

Это столбцовая матрица, для которой токи в ветвях записывают со знаком плюс, если их направление совпадает с направлением обхода контура:

.

Составление уравнений электрической схемы в матричной форме.

Матричное уравнение контурных токов.

1. В исходной схеме нумеруют узлы, элементы ветвей и выбирают положительные направления токов в ветвях. Если ветви схемы содержат только идеальные источники, то их преобразовывают. 2. Граф схемы изображают с той же нумерацией узлов и ветвей, что и в схеме. 3. Выбирают дерево графа. По ветвям связи графа определяют независимые контуры, которые затем нумеруют. Выбирают направление обхода контуров. 4. Составляют контурную матрицу В. 5. Составляют матрицу сопротивлений ветвей Z_в. В случае получения сложных матриц В и Z_в их разбивают на подматрицы В_L, В_C, В_R, Z_вL, Z_вC и Z_вR. 6. Матрицу контурных сопротивлений находят по выражению

Z=BZ_вB^Т,

где В^Т – транспонированная контурная матрица (в матрице В строки и столбцы поменялись местами). Тройное матричное произведение BZ_вB^T является определителем системы:

.

7. Составляют матрицы E и J и записывают уравнение для схемы:

BZ_вB^TJ_k=B (E-Z_вJ).

Матричное уравнение узловых потенциалов.

1. В исходной схеме нумеруют узлы и ветви. Выбирают базисный узел. 2. Граф схемы изображают с той же нумерацией узлов и ветвей, что и в схеме. 3. Составляют узловую матрицу А, которую при необходимости разбивают на подматрицы A_L, A_C и A_R. 4. Составляют матрицу проводимости ветвей Y_в, которую при необходимости разбивают на подматрицы Y_вL, Y_вC и Y_вR. 5. Матрицу узловых проводимостей находят по выражению

,

где А^Т – транспонированная узловая матрица. 6. Составляют матрицы э.д.с. Е и токов источников тока J и записывают уравнение для схемы: AY_вA^T_y=A(J-EY_в).

Нахождение определителя схемы по топологическим формулам.

1. Определитель матрицы узловых проводимостей ^(y) равен сумме произведений проводимостей ветвей всех деревьев графа схемы:

где n_д – число всех деревьев графа; Y_n1, Y_n2, …, Y_n(y-1) – произведение проводимостей ветвей n-го дерева графа.

Если проводимость каждой ветви схемы принять равной единице, то узловой определитель равен числу деревьев графа: ^(y)=n_д.

2. Определитель матрицы проводимостей сечений равен определителю проводимостей ветвей:

Рассмотрим упрощенные методы вычисления определителя такие, как разложение определителя по узлу или по путям между двумя узлами.

Разложения определителя по узлу.

Если к выбранному узлу m подходит n ветвей с проводимостями а₁, а₂, …, а_n, то определитель

где _к – определитель, получающийся из определителя исходной схемы закорачиванием ветви а_к и размыканием всех остальных ветвей, сходящихся в узле;

_ij – определитель, получающийся из определителя исходной схемы закорачиванием ветвей a_i и a_j и размыканием всех остальных ветвей, подходящих к узлу (равен сумме произведений проводимостей всех деревьев образованного графа):

_ijk – определитель, получающийся из определителя исходной схемы при одновременном закорачивании ветвей i, j, …, k и размыкании остальных ветвей, подходящих к узлу. При закорачивании всех ветвей определитель равен единице.

Пример. Для графа рис. 5.9 разложить определитель  по узлу l.

Решение. К узлу l подходят три ветви a, d и f, поэтому определитель, разложенный по выбранному узлу, =a_a+d_d+f_f+ad_ad+af_af+df_df+adf. 1.

В каждое слагаемое этого равенства входят определители соответствующих подграфов.

Рис. 5.9

Ветви, подходящие к узлу l		Подграф	Определитель подграфа
закорачи- ваемые	размыкае- мые
a d f	d, f a, f a, d		a=cb+ec+be d=cb+bc+ce f=cb+be+ec
Ветви, подходящие к узлу l		Подграф	Определитель подграфа
закорачи- ваемые	размыкае- мые
a, d a, f d, f a, d, f	f d a -		a, d=e+b a, f=c+e d, f=c+b d, a, f=l

Определитель схемы

= (a+d+f) (cb+ec+be)+ad(e+b)+af(c+e)+fd(c+b)+adf.

Разложение определителя по путям между двумя узлами.

Выбирают два узла и устанавливают все пути между ними. Тогда определитель

^(y)=P_k_k,

где P_k – величина k-го пути, равная произведению проводимостей всех ветвей этого пути; _k – алгебраическое получаемое из определителя схемы при коротком замыкании всего пути и равное сумме произведений проводимости ветвей всех деревьев.

Суммирование выполняют по всем возможным ветвям между выбранными деревьями и узлами.

Если замыкаются накоротко все узлы, которые входят в рассматриваемый путь, то _k=l.

Пример. Найти определитель  разложением по путям между I и III узлами графа рис. 5.9.

Решение. Между узлами I и III возможны пять путей: ab, de, f, ace и dcb, каждому из которых соответствует подграф. Для каждого подграфа находят свой определитель _k, после чего получают определитель исходной схемы =

Пути по ветвям между узлами	Величина пути	Подграф после замыкания всего пути	Определитель подграфа
	P1=ab P2=de		1=d+c+e 2=a+c+b
Пути по ветвям между узлами	Величина пути	Подграф после замыкания всего пути	Определитель подграфа
	P3=f P4=ace P5=dcb	I, II, III, IV I, II, III, IV	3=(a+b)c+ +(d+e)c+ +(a+b)+(d+e) 4=1 5=1

Таким образом, определитель схемы

=ab(d+c+e)+de(a+c+b)+f[(a+b)c+(d+e)c+(a+b)(d+e)]+ace+dcb.