Обчислення центральних моментів, оцінка точності світловіддалемірних вимірювань, знаходження асиметрії та ексцесу за їх результатами
Для
визначення центральних моментів потрібно
скласти табл. 3 значень
.
Для цього значення
вибираються з табл. 1 і заносяться в
табл. 3.
Центральний момент першого порядку
,
але як
видно з табл.1
,
тому
.
Центральний момент другого порядку або емпірична дисперсія
Середня квадратична похибка одного світловіддалемірного виміру
Середня квадратична похибка простої арифметичної середини, або кінцевого результату вимірюваної довжини компаратора 700,1022м (задача 1) дорівнює
Результати m та M, які знайдені за величиною центрального моменту другого порядку, і є оцінкою точності світловіддалемірних вимірювань.
Центральні моменти третього та четвертого порядків обчислюються за формулами
Нарешті, в задачі 3 потрібно знайти значення асиметрії та ексцесу і зробити висновок відносно нормальності розподілу світловіддалемірних вимірювань та їх похибок. Для цього будуть використані значення центральних моментів третього та четвертого порядків.
Більшість похибок геодезичних вимірів мають нормальний розподіл.
Відхилення
від нормального розподілу частіше
всього свідчать про наявність в
результатах вимірів систематичних
похибок. Для визначення таких відхилень
використовують асиметрію
та ексцес
,
які визначаються за формулами
та
Таблиця 3
№ п/п |
, мм |
|
|
|
№ п/п |
, мм |
|
|
|
№ п/п |
, мм |
|
|
|
1 |
0,0 |
0,00 |
0,000 |
0,0000 |
18 |
-0,9 |
0,81 |
-0,729 |
0,6561 |
35 |
-0,2 |
0,04 |
-0,008 |
0,0016 |
2 |
-0,6 |
0,36 |
-0,216 |
0,1296 |
19 |
-0,7 |
0,49 |
-0,343 |
0,2401 |
36 |
+0,2 |
0,04 |
+0,008 |
0,0016 |
3 |
+0,8 |
0,64 |
+0,512 |
0,4096 |
20 |
+0,7 |
0,49 |
+0,343 |
0,2401 |
37 |
+0,1 |
0,01 |
+0,001 |
0,0001 |
4 |
+0,6 |
0,36 |
+0,216 |
0,1296 |
21 |
+0,9 |
0,81 |
+0,729 |
0,6561 |
38 |
-0,1 |
0,01 |
-0,001 |
0,0001 |
5 |
-0,9 |
0,81 |
-0,729 |
0,6561 |
22 |
+1,2 |
1,44 |
+1,728 |
2,0736 |
39 |
-0,4 |
0,16 |
-0,064 |
0,0256 |
6 |
+0,2 |
0,04 |
+0,008 |
0,0016 |
23 |
+0,3 |
0,09 |
+0,027 |
0,0081 |
40 |
+0,4 |
0,16 |
+0,064 |
0,0256 |
7 |
-0,3 |
0,09 |
-0,027 |
0,0081 |
24 |
-0,8 |
0,64 |
-0,512 |
0,4096 |
41 |
0,0 |
0,00 |
0,000 |
0,0000 |
8 |
+0,2 |
0,04 |
+0,008 |
0,0016 |
25 |
+0,6 |
0,36 |
+0,216 |
0,1296 |
42 |
+0,2 |
0,04 |
+0,008 |
0,0016 |
9 |
+0,8 |
0,64 |
+0,512 |
0,4096 |
26 |
-0,5 |
0,25 |
-0,125 |
0,0625 |
43 |
-0,3 |
0,09 |
-0,027 |
0,0081 |
10 |
-1,1 |
1,21 |
-1,331 |
1,4641 |
27 |
-0,2 |
0,04 |
-0,008 |
0,0016 |
44 |
+0,3 |
0,09 |
+0,027 |
0,0081 |
11 |
-0,6 |
0,36 |
-0,216 |
0,1296 |
28 |
0,0 |
0,00 |
0,000 |
0,0000 |
45 |
0,0 |
0,00 |
0,000 |
0,0000 |
12 |
+0,5 |
0,25 |
+0,125 |
0,0625 |
29 |
+0,3 |
0,09 |
+0,027 |
0,0081 |
46 |
0,0 |
0,00 |
0,000 |
0,0000 |
13 |
-0,4 |
0,16 |
-0,064 |
0,0256 |
30 |
-0,7 |
0,49 |
-0,343 |
0,2401 |
47 |
-0,1 |
0,01 |
-0,001 |
0,0001 |
14 |
-0,1 |
0,01 |
-0,001 |
0,0001 |
31 |
+0,5 |
0,25 |
+0,125 |
0,0625 |
48 |
+0,1 |
0,01 |
+0,001 |
0,0001 |
15 |
-0,1 |
0,01 |
-0,001 |
0,0001 |
32 |
-0,4 |
0,16 |
-0,064 |
0,0256 |
49 |
-0,1 |
0,01 |
-0,001 |
0,0001 |
16 |
+0,3 |
0,09 |
+0,027 |
0,0081 |
33 |
0,0 |
0,00 |
0,000 |
0,0000 |
50 |
0,0 |
0,00 |
0,000 |
0,0000 |
17 |
-0,3 |
0,09 |
-0,027 |
0,0081 |
34 |
+0,6 |
0,36 |
+0,216 |
0,1296 |
|
|
|
|
|
|
5,16 |
-1,204 |
3,4440 |
|
6,77 |
+1,287 |
4,9433 |
|
0,67 |
+0,007 |
0,0727 |
|||
Асиметрія
використовується для оцінки симетричності
розподілу. Якщо розподіл симетричний
та нормальний, то
=0.
Ексцес характеризує гостроверхість
кривої розподілу (рис 1). Якщо розподіл
нормальний, то
та
=0.
Отже, асиметрія та ексцес дорівнюватимуть
Похибки асиметрії та ексцесу визначаються за формулами
; 
Оскільки вибіркові асиметрія та ексцес є випадковими величинами, то навіть для нормального розподілу вони можуть відрізнятися від нуля. Їх можна рахувати суттєвими, якщо
У нашому випадку
Висновок.
Так як асиметрія та ексцес значно менше допустимих, тому немає сумнівів рахувати, що вимірювання та їх похибки не суперечать нормальному розподілу. Це означає, що оцінка точності вимірювань виконана правильно за приведеними формулами середньої квадратичної похибки одного виміру m та середньої квадратичної похибки кінцевого результату M=0,071мм, які відповідають нормальному розподілу.
Можна побудувати довірчий інтервал для істинного значення а вимірюваної довжини компаратора у вигляді:
Для
довірчої ймовірності р=0,95
при нормальному розподілі коефіцієнт
=1,96.
Тоді для середньої арифметичної величини
=700,1022
та похибки арифметичної середини
М=0,071мм
довірчим інтервалом буде
700102,2мм-1,96·0,071мм
700102,2мм+1,96·0,071мм,
або 700102,2-0,14 700102,2+0,14,
700102,06мм 700102,34мм.
Істинне значення а коливається в інтервалі
102,34мм-102,06мм=0,28
0,3мм
Можна стверджувати, що це значно вузький інтервал, тому кінцевий результат довжини компаратора є достатньо точним.