vk.com/club152685050

называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки.

Расстояние от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 находится по формуле:

d Ax0 By0 C .

A2 B2

Деление отрезка в заданном отношении .

Пусть М(x1, y1), N(x2, y2), тогда координаты точки Р(x0, y0), такой что АС: СВ = , вычисляются по формулам:

	x0		x1 x2	,	y0	y1 y2	.
			1
						1

Длина отрезка MN находится по формуле:

MN x2 x1 2 y2 y1 2 .

1.3.Плоскость

Вдекартовых координатах каждая плоскость в 3-мерном пространстве определяется уравнением первой степени относительно координат точки и каждое такое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором.

Уравнение A x x0 B y y0 C z z0 0 определяет плоскость, проходящую через точку M(x0, y0, z0) и имеющую нормальный вектор

n A, B,C .

Введя обозначение D = Ax0 By0 Cz0, получаем общее уравнение плоскости: Ax By Cz D 0 .

Если в общем уравнении плоскости D = 0, то плоскость проходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из текущих координат, то есть какой-либо из коэффициентов А, В, С равен нулю, то плоскость параллельна той координатной оси, которая одноименна с отсутствующей координатой; если, кроме того, D = 0, то плоскость проходит через эту ось. Если в общем уравнении плоскости отсутствуют два члена с текущими координатами (какие-либо два из коэффициентов А, В, С равны нулю), то плоскость параллельна той координатной плоскости, которая проходит через оси, одноименные

6

vk.com/club152685050

с отсутствующими координатами; если, кроме того, D = 0, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью.

Если в общем уравнении плоскости ни один из коэффициентов А, В, С, D не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду x / a + y / b + z / c = 1, где a, b, c суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях, это уравнение плоскости

“в отрезках”.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой, имеет вид:

x x1 x2 x1 x3 x1

y y1 y2 y1 y3 y1

z z1

z2 z1 0. z3 z1

Расстояние от точки M0 (x0, y0, z0) до плоскости, заданной общим уравнением:

d		Ax0	By0 Cz0	D			.
			A2 B2 C2

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями:

A1x B1 y C1z D1 0,

A2 x B2 y C2 z D2 0 .

Условие параллельности двух плоскостей:

A1 / A2 B1 / B2 C1 / C2 .

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

A1 A2 B1 B2 C1 C2 0

(т.е. нормали к плоскостям перпендикулярны друг другу).

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между нормалями к этим плоскостям:

cos (n1 , n2 ) /		n1				n2		.

1.4. Прямая в пространстве

Прямая в 3-мерном пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей:

A1 x B1 y C1 z D1 0,
	0.
A2 x B2 y C2 z D2

7

vk.com/club152685050

Каноническое уравнение прямой:

		x x0		y y0		z z0		,
		m		n			p
где x0, y0, z0	- координаты точки М0 на прямой;
x, y, z	- текущие координаты точек прямой;
m, n, p - координаты направляющего вектора а прямой.
Параметрическое уравнение прямой:
		x		x0 mt,
				y0			nt,
		y
				z0			pt,
		z

где t - переменный параметр, отмечающий точку прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М (x1, y1, z1) и N (x2, y2, z2):

x x1				y y1				z z1
											.
x	2	x		y	2	y		z	2	z
		1				1				1

Если прямая задана как пересечение двух плоскостей, то направляющий вектор прямой определяется из соотношения:

i j k

a n1,n2 A1 B1 C1 .

A2 B2 C2

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:

x x			y y			z z			x x				y y				z z
	1			1			1	;			2				2				2	.
m			n			p			m	2			n	2			p	2
1			1			1

Условие параллельности: m1 / n1 n1 / n2 p1 / p2 .

Условие перпендикулярности: m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0.

Угол между прямыми определяется как угол между направляющими векторами этих прямых:

cos (a1 , a2 ) / a1 a2 .

8

vk.com/club152685050

1.5. Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть в пространстве заданы:

прямая	x x0		y y0	z z0		;
	m		n		p

плоскость Ax By Cz D 0 .

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между

направляющим вектором

прямой a m,n, p и вектором нормали к

плоскости n A, B,C .

Тогда: sin (n, a) /

n

a

.

В координатной форме:

sin

Am Bn Cp

.

A2 B

2 C2

m2

n2 p2

Условие параллельности прямой и плоскости есть условие перпендикулярности векторов n и а:

Am Bn Cp 0 .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости есть условие коллинеарности векторов n и а:

A/ m B / n C / p .

Условие принадлежности данной прямой данной плоскости:

Am Bn Cp 0,

Ax0 By 0 Cz0 D 0.

Условие принадлежности одной плоскости двух прямых

x x1		y y1		z z1	и	x x2		y y2		z z2
m1		n1		p1		m2		n2		p2

можно записать в в координатной форме:

x2 x1	y2 y1	z2 z1		0 .
m1	n1	p1
m2	n2	p2

9