vk.com/club152685050

Пример 9.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(4, 1, 1) и прямую

2 x 3 y 5z 7 0,

4 x 2 y 6z 5 0.

Решение.

Напишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую: (2x 3y + 5z 7) + (4x + 2y 6z 5) = 0. Подставляя в это уравнение координаты точки Р(4, 1, 1), будем иметь 9 + 3 = 0, откуда = 3. Из уравнения пучка при = 3 находим уравнение искомой плоскости: 10x + 9y 23z 8 = 0.

Ответ. Уравнение плоскости: 10x + 9y 23z 8 = 0.

ТЕМА 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§1.Теоретические сведения

1.1. Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости

Алгебраической кривой второго порядка на плоскости называется кривая, уравнение которой в декартовой системе координат на плоскости имеет вид:

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.

В общем случае может оказаться, что это уравнение определяет так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).

Если же кривая невырожденная, то для нее найдется такая декартова прямоугольная система координат на плоскости, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих трех видов, так на - зываемое каноническое уравнение:

1)	x2 / a2 y2 / b2	1,	a b 0, эллипс;
2)	x2 / a2 y2 / b2	1,	a,	b > 0, гипербола;
3)	y2	= 2px,		p > 0, парабола.

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду может быть осуществлено одним из методов: поворот осей координат, выделение полных квадратов, матричный способ.

16

vk.com/club152685050

Эти методы подробно рассмотрены в курсе линейной алгебры. Нашей целью является изучение основных геометрических свойств не - вырожденных кривых второго порядка на основе их канонических уравнений.

ВО ВСЕХ ЗАДАЧАХ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ, ЧТО УРАВНЕНИЕ КРИВЫХ ЗАПИСАНО В КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ.

1.2. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной и той же точки, называемой ее центром.

В прямоугольной декартовой системе координат уравнение окружности имеет вид:

x xc 2 y yc 2 r2 ,

где (xc, yc) - координаты ее центра, а r - ее радиус.

Если центр окружности находится в начале системы координат, то

ееуравнение имеет более простой вид: x2 + y2 = r2.

Параметрические уравнения окружности имеют вид:

x xc r cost ,

y yc r sint ,

0 t 2 .

Уравнение касательной к окружности в произвольной ее точке с координатами (x0, y0) имеют вид:

xx0 + yy0 = r2.

Общее уравнение кривой второго порядка представляет окружность, если коэффициенты при квадратах координат равны между собой и если отсутствует член с произведением координат xy.

1.3. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Уравнение эллипса с осями, параллельными координатным осям, имеет вид:

17

vk.com/club152685050

x xc 2 / a2 y yc 2 / b2 1,

где (xc, yc) - координаты центра эллипса.

Если центр эллипса находится в начале системы координат, то имеем каноническое уравнение эллипса:

x2 / a2 y2 / b2 1.

Ниже подразумевается, что используется каноническое уравнение эллипса.

Координаты фокусов эллипса: F1( c, 0), F2(c, 0), где c2 a2 b2 .

Вершины эллипса: А1( а, 0), А2(a, 0), B1(0, b), B2(0, b).

Отрезки A1A2 = 2a, B1B2 = 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса, величины a, b - большой (малой) полуосями эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси эллипса, обозначается буквой

: = с / а ( < 1).

Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстоянии, равном а / ; урав-

нения директрис: x = а / .

Фокальными радиусами называются расстояния r1 и r2 от произвольной точки М(x, y) эллипса до его фокусов F1 и F2 соответственно. Фокальные радиусы находятся по формулам:

r1 = a + x,

r2 = a x.

Отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса:

r1 / d1 = ,

r2 / d2 = .

Эти соотношения позволяют дать другое определение эллипса: эллипс - геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до данной точки (фокуса) и до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная, меньшая единицы.

Касательная к эллипсу в точке М(x0, y0) определяется уравнением:

xx0 / a2 yy0 / b2 1.

Условие касания прямой Ax + Bx + C = 0 эллипса x2 / a2 y2 / b2 = 1 записывается в виде соотношения A2a2 + B2b2 = C2.

18

vk.com/club152685050
Параметрическое уравнение эллипса:
x acost ,	y bsin t ,	0 t 2 ,

где t - величина угла между осью OX и прямой ОМ, соединяющей центр эллипса с его точкой М(x, y).

Если фокусы эллипса расположены на оси OY, тогда уравнение эллипса имеет тот же канонический вид: x2 / a2 y2 / b2 1, однако, b >a и

c2 = b2 a2; = с / b, директрисы y = b / .

1.4. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, положительная и меньше расстояния между фокусами.

Уравнение гиперболы с осями, параллельными осям координат, имеет вид:

x xc 2 / a2 y yc 2 / b2 1,

где (xc, yc) - координаты центра гиперболы.

Если центр гиперболы находится в начале системы координат, то имеем каноническое уравнение гиперболы:

x2 / a2 y2 / b2 1.

Ниже подразумевается, что используется каноническое уравнение гиперболы.

Координаты фокусов гиперболы: F1( c, 0), F2(c, 0), где c2 a2 b2 .

Вершины гиперболы: А1 ( а, 0), А2 (a, 0).

Вещественной осью гиперболы называется отрезок A1A2 = 2a. Мнимой осью гиперболы называется отрезок B1B2 = 2b, где

B1 (0, b), B2 (0, b).

Фокальной осью гиперболы называется прямая F1F2. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния

между фокусами к длине вещественной оси гиперболы, обозначается

буквой = с / а ( < 1).

Директрисами гиперболы называются две прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от нее на расстояние, равное

а / ; уравнения директрис: x = а / .

19

vk.com/club152685050

Фокальными радиусами называются расстояния r1 и r2 от произвольной точки М(x, y) гиперболы до ее фокусов F1 и F2 соответственно. Фокальные радиусы находятся по формулам:

1) для точек М(x, y), лежащих на левой ветви гиперболы:

r1 = a x,

r2 = a x;

2) для точек М(x, y), лежащих на правой ветви гиперболы:

r1 = a + x,

r2 = a + x.

Асимптотами гиперболы являются диагонали прямоугольника, центр которого находится в центре гиперболы, а стороны равны и параллельны осям гиперболы. Уравнение асимптот гиперболы:

y = (b / a)x.

Отношение расстояния r1 (или r2) от любой точки гиперболы до фокуса F1 (или F2) к соответствующему расстоянию d1 (или d2) от нее до директрисы равно эксцентриситету:

r1 / d1 = ,

r2 / d2 = .

Эти соотношения позволяют дать другое определение гиперболы: гипербола - геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до данной точки (фокуса) и до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная, большая единицы.

Касательная к гиперболе в точке М(x0, y0) определяется уравнени-

ем:

xx0 / a2 yy0 / b2 1.

Условие касания прямой Ax + Bx + C = 0 гиперболы x2 / a2 y2 / b2 1 записывается в виде соотношения:

A2a2 B2b2 = C2.

Сопряженной называется гипербола, фокусы которой расположены на оси OY; уравнение сопряженной гиперболы имеет вид:

x2 / a2 y2 / b2 1;

эксцентриситет сопряженной гиперболы: = с / b; асимптоты: y = (b / a)x, директрисы: y = b / ;

20

vk.com/club152685050

касательная: xx0 / a2 yy0 / b2 1.

Равносторонней называется гипербола с равными полуосями (a =

b).

1.5. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы), лежащих в этой же плоскости.

Фокус параболы принято обозначать буквой F, директрису - буквой - l, расстояние FB от фокуса до директрисы - буквой p; точка А, являющаяся серединой отрезка FB, называется вершиной параболы.

Координаты фокуса параболы F (p / 2, 0).

Уравнение директрисы параболы: x = p / 2.

Каноническое уравнение параболы, в случае, когда ее вершина расположена в начале координат: y2 = 2px, если вершина параболы расположена в точке A(xc, yc), то уравнение параболы записывается в виде:

(y yc)2 = 2p(x xc).

Фокальным радиусом называется расстояние r от произвольной точки М(x, y) параболы до ее фокуса F.

Фокальный радиус находятся по формуле:

r = x + p / 2.

Уравнение касательной к параболе в точке М(x0, y0) имеет вид:

yy0 = p(x + x0).

Отношение расстояния r от любой точки М(x, y) параболы до фокуса F к расстоянию d от нее до директрисы называется ее эксцен-

триситетом, и он равен = r / d = 1 (в силу определения параболы). Уравнение параболы, симметричной относительно оси OY и про-

ходящей через начало системы координат, имеет вид: x2 = 2qy.

Фокус ее расположен в точке F(0, q / 2), директриса: y = q / 2. Фокальный радиус точки М такой параболы вычисляется по фор-

муле:

r = y + q / 2.

21

vk.com/club152685050

Уравнение касательной в точке М0 (x0, y0) к параболе x2 = 2qy имеет вид: xx0 = q (y + y0).

22