vk.com/club152685050

9. Составить уравнение гиперболы, зная ось 2a=16 и эксцентриситет

5 /4 .

10.Составить простейшее уравнение эллипса, проходящего через точки М( 3 , -2) и N(-2 3 , 1).

Задание 11

1.Проверить, что прямые 2х + 51/2у - 15 =0 и 111/2х - 5у + 30 = 0 каса - ются одной и той же окружности с центром в начале координат и вычислить ее радиус.

2.Основания трапеции лежат на прямых 2x 5y 24 0 и 2x 5y 6 0 .

Найти ее высоту.

3.Найти расстояние от точки (2; -1; 0) до прямой (x-7)/3=(y-1)/4=(z-3)/2.

4. Найти угол между плоскостью 4x+4y-7z+1=0 и прямой (x-1)/11=(y+1)/(-4)=(z+3)/4.

5.Можно ли провести плоскость через точки (0; 0; 2), (3; 0; 5), (1; 1;0), (4; 1; 2)?

6.Написать уравнение плоскости проходящей через точку Р(-1; 5; -7) и отсекающей на осях координат равные отрицательные отрезки.

7.Вершины четырехугольника A(2; -3; 1), B(-1; 1; 1), C(-4; 5; 6), D(2; - 3; 6). Вычислить его площадь.

8.Зная разложения векторов, служащих сторонами треугольника, по двум взаимно перпендикулярным ортам: AB = 5a + 2b, BC = 2a - 4b и CA = -7a + 2b, вычислить длину медианы АМ и высоты AD треуголь - ника АВС.

41

vk.com/club152685050
9.Дан эллипс	x2		y2	1 . Найти длину его диаметра, направленного по
	16
		9

биссектрисе координатного угла.

10. Зная уравнения асимптот у = 0,5х и у = -0,5х и одну из точек М(12; 3 3 ) гиперболы, составить ее уравнение

Задание 12

1.На расстоянии 5 единиц от точки А(4; 3) провести прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.

2.Для треугольника ABC, A(6; 2), B(8; 8), C(14; 5) написать уравнение медианы CM.

3.Найти расстояние от точки (2; -1; 0) до прямой

2x+y-z+1=0, x+y+z+2=0.

4. Найти угол между плоскостью 4x+4y-7z+1=0 и прямой (x-1)/3=(y+2)/2=z/(-6)

5.Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OY параллельно вектору P(1; -2; 3).

6.Для пирамиды ABCD, A(-1; 2; 3), B(3; 3; 6), C(5; 1; 3), D(1; 7; 4) вычислить двугранный угол между основанием ABC и гранью CDB.

7.Даны вектора a(2; -1; 3), b(1; -3; 2), c(3; 2; -4). Вычислить вектор x из условий (x,a)=10, (x,b)=22, (x,c)=-40.

8.Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами треугольника АВ{2; 1; -2} и BC{3; 2; 6}, вычислить углы этого треугольника.

42

vk.com/club152685050

9.Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фоку-

сах, а фокусы в вершинах эллипса	x2		y2	1 .
	8	5

10.Вычислить длину сторон правильного треугольника, вписанного в параболу y 2 2px .

Задание 13

1.На оси ординат найти точку, равноудаленную от начала координат и от прямой 3х - 4у + 12 = 0.

2.Написать уравнение прямой, проходящей на одинаковом расстоя-

нии от прямых 2x 5y 12 0 и 2x 5y 18 0 .

3.Найти расстояние от точки (2; -1; 0) до прямой x=1+2t, y=2-2t, z=-3+t.

4.Найти угол между плоскостью 4x+4y-7z+1=0 и прямой (x-2)/4=(y-1)/4=(z+3)/(-7)

5.Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OX параллельно вектору P(1; -2; 3).

6.Вычислить расстояние между плоскостями x-y+5z+27=0 и x-y+5z- 54=0.

7.Вершины четырехугольника A(2; -3; 1), B(-1; 1; 1), C(-4; 5; 6), D(2; - 3; 6). Вычислить косинусы его углов.

8.Зная одну из вершин треугольника А(2; -5; 3) и векторы, совпадаю - щие с двумя его сторонами АВ[4; 1; 2} и ВС{3; -2; 5}, найти остальные его вершины и сторону СА.

43

vk.com/club152685050

9.Составить уравнение гиперболы проходящей через точку М(9; 8), если асимптоты гиперболы имеют уравнения у = (21,5/3)x и y = - (21,5/3)x.

10.Определить координаты фокуса и составить уравнение директрисы для параболы y 2 2x .

Задание 14

1.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -1) и составляющей с осью х угол, вдвое больший, чем прямая у = х/3 + 4/3.

2.Через точку пересечения прямых 2x-y=2 и x+y=1 провести прямую, параллельную прямой y=3x-1.

3.Даны координаты вершин пирамиды A(4; 6; 5), B(6; 9; 4), C(2; 10; 10),D(7; 5; 9). Найти уравнения прямых АВ и CD и угол между ними.

4.Найти расстояние между прямыми (x-2)/4=(y+1)/5=(z-3)/2 и (x+5)/4=(y+2)/5=(z+3)/2.

5.На оси у найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: 4x - 3y + z - 2= 0 и 5z + y + 8 = 0.

6.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1; 3; 7) и прямую x/2=(y-3)/5=-z+5.

7.Даны вектора a=(3;-2), b=(-2;1), c=(7;-4). Разложить a по базису векторов b,c.

8.Даны вектора AB(3; -1; 2), AC(5; 1; 0). Вычислить площадь треугольника ABC.

9.Составить уравнение гиперболы, зная уравнения асимптот y 12x / 5 и

то, что расстояние между вершинами равно 48.

44

vk.com/club152685050

10. Вычислить фокальный радиус точки M, лежащей на параболе y 2 8x ,

если ее абсцисса равна 8.

Задание 15

1.Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы у = 3х + 5 и вершину прямого угла с(4; -1).

2.Вычислить координаты вершин ромба, Если известны две его стороны 2х - 5у- 1 = 0 и 2х - 5у - 34 = 0 и уравнение одной из диагоналей х + 3у - 6 = 0.

3.Даны координаты вершин пирамиды: A(3; 5; 4), B(8; 6; 4), C(5; 10; 4),D(4; 7; 8). Найти уравнения прямых АВ и CD и угол между ними.

4.Составить параметрическое уравнение прямой

2x+3y-z-5=0, 3x-5y+2z+1=0.

5.Вычислить расстояние между плоскостями 2x +10y -11z - 15 = 0 и 2x + 10y11z + 45 = 0.

6.Написать уравнение плоскости проходящей через точку (3; 2; 4) и отсекающей на осях координат отрезки равной длины.

7.Даны вектора a=(3;-1;-2), b=(1;2;-1). Найти вектор [2a+b,b].

8.Вычислить скалярное произведение ab, если a = - 3p - 2q, b = p + 4q, p и q - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

9.Вычислить фокальные радиусы для точки (-5;9/4), лежащей на гипербо-

ле	x2		y2	1
	16
		9

45

vk.com/club152685050

10. Написать каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 3, а эксцентриситет равен 33 .

Задание 16

1.Даны вершины треугольника А(4; 6), В(-4; 0) и С(-1; -4). Составить уравнения его сторон.

2.Написать уравнения биссектрис углов, образованных прямыми х + 7у - 6 =0 и 5х - 5у + 1 = 0.

3.Даны координаты вершин пирамиды: A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7),D(1; 5; 0). Найти уравнения ребер AC и BD угол между ними.

4.Составить параметрическое уравнение прямой

x+2y-z-6=0, 2x-y+z+1=0.

5.На расстоянии трех единиц от плоскости 3x - 6y - 2z + 14 = 0 проведена параллельная ей плоскость. Написать ее уравнение

.

6.Лежат ли точки (3; 1; 0), (0; 1; 2), (-1; 0; 5), (4; 1; 5) на одной плос - кости?

7.Даны вектора a=(3;-1;-2), b=(1;2;-1). Найти вектор [2a-b,2a+b].

8.Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=7i+2.5j+2.5k, b=5i+0.5i+1.5k.

9. Определить точки гиперболы	x2		y2	1 , расстояние от которых до
	64
		36

правого фокуса равно 9/2.

46

vk.com/club152685050

10.Написать уравнение эллипса, зная, что большая полуось равна 4, а уравнение директрисы x 47 .

Задание 17

1.Даны вершины треугольника А(4; 6), В(-4; 0) и С(-1; -4). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины С.

2.Составить уравнения сторон квадрата, если дана его вершина А(2; -4) и точка пересечения диагоналей М(5; 2).

3.Даны координаты вершин пирамиды A(4; 4; 10), B(4; 10; 2), C(2; 8; 4),D(9; 6; 9) Найти уравнения плоскости ABD, прямой АС и угол между ними.

4.Доказать перпендикулярность прямых

(x+2)/3=(1-y)/2=z	и	x+y-z=0,
		x-y-5z-8=0.

5.Проверить, что три плоскости 2x - 2y + z -3 = 0, 3x - 6z + 1 = 0 и 4x +5y + 2z = 0 попарно перпендикулярны.

6.Лежат ли точки (2; 1; 0), (1; -1; 2), (0; 4; -2), (3; 1; 2) на одной плоскости? Если да, то на какой?

7.Даны вектора a=(2;1;0), b=(1;-1;2); c=(2;2;-1); d=(3;7;-7). Разложить вектор a по векторам b,c,d

8.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах A=2n+3m, B=m-4n, если длина n равна 3, длина m равна 2 , угол

между ними 45 градусов.

47

vk.com/club152685050
9. Определить точки гиперболы	x2		y2	1 , расстояние от которых до
	9
		16

левого фокуса равно 7.

10.Написать уравнение эллипса, если расстояние между директрисами равно 415 , а эксцентриситет равен 22 .

Задание 18

1.Даны вершины треугольника А(4; 6), В(-4; 0) и С(-1; -4). Составить уравнение биссектрисы угла В.

2.Написать уравнения сторон равнобочной трапеции, зная, что ее основания 10 и 6, а боковые стороны образуют с основанием угол в 60 градусов. За оси координат взяты большее основание и ось симметрии трапеции.

3.Проверить, лежит ли прямая (x + 2)/3=(y - 5)/4=z на плоскости 3x -2y - z+15 = 0

4.Доказать перпендикулярность прямых

x+y-3z-1=0,	и	2x+y+2z+5=0,
2x-y-9z=2,		2x-2y-z+2=0.

5. Убедиться, что плоскости - x + 2y - z + 1 = 0 и y + 3z -1 = 0 не параллельны и найти угол между ними

6.Дан тетраэдр A(4; 0; 2), B(0; 5; 1), C(4; -4; 3), D(3; -1; 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро AB и параллельной ребру CD.

7.Вычислить площадь треугольника A(1;2;0), B(3;0;-3), C(5;2;6).

8. Найти значение скалярной величины 3m - 2(mn) + 4n2, если m = |m| = 1/3, длина n равна 6 и угол между m и n равен 60 градусов.

9.Написать уравнение гиперболы, проходящей через точки (6;-1),

.

( 8;22 )

10.Составить каноническое уравнение эллипса, у которого большая полуось равна 10, а эксцентриситет 0,8

48

vk.com/club152685050

Задание 19

1.Даны вершины треугольника А(4; 6), В(-4; 0) и С(-1; -4). Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А на сторону ВС.

2.При каком значении параметра а прямые (3а + 2)х + (1 - 4а)у + 8 = 0 и (5а -2)х + (а + 4)у - 7 = 0 перпендикулярны друг к другу?

3.Проверить, лежит ли прямая (x - 1)/2 = (y + 3)/-1 = (x + 2)/5 на плоскости 4x + 3y - z + 3 = 0

4.Даны вершины треугольника A(3; 6; -7), B(-5; 2; 3), C(4; -7; -2). Написать параметрическое уравнение медианы, проведенной из вершины C.

5.Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости 2x + 6y - 3z - 14 =0 и отстоящей от нее на расстоянии пяти единиц

6.Через прямую 3x+2y-z+1=0, x-y+5z+2=0

провести плоскость, параллельную плоскости x+y+z+5=0.

7.Даны вектора a=(2;1;0), b=(1;-1;2); c=(2;2;-1); d=(3;7;-7). Разложить вектор b по векторам a,c,d

8.Найти длину высоты AH тетраэдра ABCD с вершинами A(2; -4; 5), B(-1; -3; 4), C(5; 5; 1), D(1; -2; 2).

9.Написать простейшее уравнение эллипса, полуоси которого равны соответственно 3 и 2.

10.Определить координаты фокуса и составить уравнение директрисы для параболы y 2 6x .

49

vk.com/club152685050

Задание 20

1. Проверить, что точки А(-2; -2), В(-3; 1), С(7; 7) и D(3; 1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение средней линии этой трапеции.

2.Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан х - 2у + 1 = 0 и у - 1 =0.

3.Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость x + 2у - z -3 = 0.

4.Даны вершины треугольника A(3; -1; -1), B(1; 2; -7), C(-5; 14; -3). Написать каноническое уравнение биссектрисы, проведенной из вершины C.

5.Даны координаты вершин пирамиды A(4; 6; 5), B(6; 9; 4), C(2; 10; 10),D(7; 5; 9). Найти уравнения плоскости ABD, прямой АС и угол между ними

6.Через прямую 3x+2y+z+1=0, x+2y+5z+3=0

провести плоскость, перпендикулярную плоскости x-2y+z+7=0.

7.Вычислить площадь треугольника A(2;1;0), B(-3;-6;4), C(-2;4;1).

8.В ромбе ABCD даны диагонали AС = a и BD = b. Разложить по этим двум векторам все векторы, совпадающие со сторонами ромба: AB, BC, CD и DA.

9.Написать простейшее уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен 0,6 и расстояние между фокусами равно 6.

10.Определить координаты фокуса и составить уравнение директрисы для параболы x 2 4y .

50

vk.com/club152685050

Задание 21

1.Даны две точки А(-3; 8) и В(2; 2). На оси абсцисс найти такую точ - ку М, чтобы ломаная АМВ имела наименьшую длину.

2.Найти угол между прямыми x-2=3y/2-5 и x-1=-2y+4

3.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1; -5; 3) и образующей с осями координат углы, соответственно равные 60, 45 и120 градусов.

4.Даны вершины треугольника A(2; -1; -3), B(5; 2; -7), C(-7; 11; 6). Написать уравнение биссектрисы, проведенной из вершины A.

5.Убедиться, что плоскости 2x - y + z - 1 = 0 и -4x + 2y - 2z - 1 = 0 параллельны и найти расстояние между ними

6.Найти расстояние от точки (7; 5; 0) до плоскости 4x-3y-12z+26=0.

7.Даны вектора a=(2;1;0), b=(1;-1;2); c=(2;2;-1); d=(3;7;-7). Разложить вектор c по векторам b,a,d

8.В треугольной призме ABCDEF векторы AB(0; 1; -1), AC(2; -1; 4) определяют основание, а вектор AD(-3; 2; 2) направлен по боковому ребру. Вычислить объем призмы.

9. Расстояния одного из фокусов эллипса до концов его большой оси соответственно равны 7 и 1. Составить уравнение этого эллипса.

10.Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эл-

липсом	x2		y2	1 и проходящей через точку ( 4		;3) .
					2
	35	10

51

vk.com/club152685050

Задание 22

1. Найти уравнение прямой, параллельной прямой 12х + 5у - 52 = 0 и отстоящей от нее на расстоянии d = 2.

2. Найти угол между прямыми 2x-1=y+11 и 2x+6=y-9.

3.Найти проекцию точки А( 6; - 1; 1) на плоскость x - 2y + z - 3 = 0.

4.Даны вершины треугольника A(1; -2; -4), B(3; 1; -3), C(5; 1; -7). Написать параметрические уравнения высоты, проведенной из вершины B на противоположную сторону.

5.На оси z найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: x + 4y - 3z -2= 0 и 5x + z + 8 = 0.

6.Вычислить расстояние между плоскостями 2x-y-2 30 z+10=0 и 4x- 2y-4 30 z+15=0.

7.Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a=3i-j+2k, b=-i+3j-k.

8.В треугольной призме ABCDEF векторы AB(0; 1; -1), AC(2; -1; 4) определяют основание, а вектор AD(-3; 2; 2) направлен по боковому ребру. Вычислить площадь граней.

9.Дано уравнение эллипса 25x2 169y 2 4225 . Вычислить длину его осей,

координаты фокусов и эксцентриситет.

10. Написать уравнение гиперболы, полуось которой равна половине

	фокусного расстояния эллипса	x2		y2	1 , а фокусное расстояние ги-
		169		144

перболы равно большой оси эллипса.

52

vk.com/club152685050

Задание 23

1.Составить уравнение прямой, параллельной прямым 4х - 6у - 3 = 0

и2х -3у - 7 = 0, проходящей посредине между ними.

2.Найти угол между прямыми 3y-4=-4x+2 и y+6=4x/3+7

3.Найти уравнения прямой, проходящей через точку М(3; 2; - 1) и пересекающей ось х под прямым углом.

4.Найти угол между прямыми x-3=-y-2=z/ 2 , x+2=y-3=(z+5)/ 2 .

5.На оси у найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: 4x - 3y + z - 2= 0 и 5z + y + 8 = 0.

6.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1; 4; 4) и прямую 4x-3y+5z+6=0, 2x+y-z-2=0.

7.Найти единичный вектор, перпендикулярный вектору a=3i+6j+8 b и оси абсцисс.

8.В треугольной призме ABCDEF векторы AB(0; 1; -1), AC(2; -1; 4) определяют основание, а вектор AD(-3; 2; 2) направлен по боковому ребру. Вычислить угол между ребрами EF и AD.

9.Составить простейшее уравнение эллипса, у которого сумма полуосей и расстояние между фокусами равны 8.

10. Написать каноническое уравнение гиперболы, если угол между ее асимптотами равен 60 градусов, и гипербола проходит через точку

( 43 ;2) .

53

vk.com/club152685050

Задание 24

1.Дан треугольник с вершинами А(1; 2), В(3; 7) и С(5:-13). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану из вершины А.

2.Найти угол между прямыми x=7 и y=2x+8

3.Найти проекцию точки М(1; 1; 1) на плоскость x + y - 2z - 6 = 0.

4.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку (2; 0; -3) параллельно прямой (x-1)/5=(y+2)/2=-z-1.

5.Написать уравнение плоскости, проходящей через ось z и через точку (-3;1; -2)

6.Вычислить расстояние между плоскостями 12x+4y+3z-52=0 и 12x+4y+3z+39=0.

7.Даны вектора a=(2;1;0), b=(1;-1;2); c=(2;2;-1); d=(3;7;-7). Разложить вектор d по векторам b,c,a.

8.В треугольной призме ABCDEF векторы AB(0; 1; -1), AC(2; -1; 4) определяют основание, а вектор AD(-3; 2; 2) направлен по боковому ребру. Вычислить высоту призмы.

9. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эл-

липсом x2 y2 1 , эксцентриситет которой равен 1,25.

49 24

10. Написать уравнение эллипса, если расстояние между директрисами равно 12, а большая полуось равна 23 .

54

vk.com/club152685050

Задание 25

1.Даны вершины треугольника А(4; 6), В(-4; 0) и С(-1; -4). Составить уравнения его сторон.

2.При каком значении параметра a прямые 3ах - 8у + 13 = 0 и (а + 1)х - 2ау21 = 0 параллельны?

3.Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(3; 0; - 1), В(1; 2;- 4) и С(0; 7; - 2). Найти уравнения сторон AD и CD.

4.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку (2; 0; -3) параллельно оси OY.

5.Написать уравнение плоскости, параллельной оси OX и проходящей через две точки (4; 0; -2) и (5; 1; 7).

6.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (-1; 0; 2), (3; 1; 4), (2; 3; 0).

7.Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a=1- 2j+5k и b=5j-7k.

8.Дан треугольник A(1; 3; 5), B(3; 5; 6), C(2; 1; 7). Вычислить вектор, коллинеарный биссектрисе угла A.

9.В эллипс	x2		y2	1 вписан прямоугольник, противоположные сторо-
	49
		24

ны которого проходят через фокусы. Вычислить его площадь.

10. Составить простейшее уравнение гиперболы, зная ее фокусы F1(10; 0) и F2(-10; 0) и одну из точек М(12; 3 5 ).

Задание 26

55

vk.com/club152685050

1.Даны две точки А(-3;-1) и В(3; -7). На оси ординат найти такую точку М, чтобы прямые АМ и МВ были перпендикулярны друг к другу.

2.Найти угол между прямыми 2x+y-1=0 и y=x-2

3.Написать уравнения ребер AB, BC, AC тетраэдра с вершинами в точках A(0; 0; 2), B(4; 0; 5), C(5; 3; 0), D(1; 4; - 2).

4.Даны координаты вершин пирамиды: A(3; 5; 4), B(8; 7; 4), C(5; 10; 4), D(4; 7; 8). Найти уравнения высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

5.Можно ли провести плоскость через точки (0; 0; -1), (1; 3; 4), (5; 0; -3), (4; 4; 1)?

6.Написать уравнение плоскости. проходящей через точки М(0;1; 1) и N(2; 0; 1) перпендикулярно плоскости 2 x - y + z + 1 = 0.

7.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a=8i+4j+k и b=2i-2j+k.

8.Зная, что |a| =2, |b| = 5 и угол между a и b равен 120 градусов, опре - делить, при каком значении коэффициента m векторы p = ma + 17b и q = 3a – b окажутся взаимно перпендикулярными

	9.На эллипсе	x2		9y2	1 найти точку, расстояние которой от малой
		30		24

оси равно пяти.

10. Написать простейшее уравнение гиперболы, зная, что расстояние между фокусами ее равно 20 и уравнения асимптот y 4x /3 .

Задание 27

56