Сборник олимпиадных задач по теоретической механике

равнодействующие сил трения и нормальных реакций шероховатой плоскости приложены в одной точке, вертикальной составляющей реакции опоры A пренебречь.

С 165*** (Россия, 2001. 5 баллов)

Три одинаковых однородных диска радиуса R расположены в вертикальной плоскости, как указано на рисунке. Коэффициент трения между дисками, а также опорной поверхностью и дисками одинаков и равен f (f < 1). Определить максимальное расстояние между центрами нижних дисков и область допустимых значений коэффициента трения при равновесии системы.

С 166*** (Россия, 2001. 6 баллов)

Однородный прямоугольник с основанием a, высотой b и весом Q лежит на шероховатой

горизонтальной плоскости с коэффициентом трения f. Каким условиям удовлетворяет величина силы Р, для которой прямоугольник находится в равновесии при любом

значении угла α (0≤ α ≤ π/2) ? Сила Р расположена в плоскости прямоугольника.

α

C 167**** (Урал, Оренбург, 2000. 3 балла)*

Дана система n материальных точек с массами mk и координатами xk, yk, zk, k = 1 … n. На каждую точку действует сила притяжения к некоторому центру Q: Fk =f mk M kQ , где f - одно и то же для всех точек. Определить координаты точки Q, если известно, что система находится в равновесии.

С168**** (Урал, Оренбург, 2000. 4 балла)

Балка АВ весом 2P имеет шарнирную опору в точке А не закрепленную, а установленную на шероховатую плоскость. Коэффициент трения между плоскостью и опорой равен f. Шарнирно-подвижная опора В расположена на наклонной плоскости, образующей угол 45° с горизонтом. Определить точку приложения силы Р (абсциссу x). При которой нарушается равновесие, а также чему должны равняться f и x для того, чтобы в предельном положении равновесия балки вертикальные составляющие реакции опор А и В были бы одинаковы?

**** Задачи С167 - С170 подготовлены в Оренбургском государственном университете. Составители Г. В. Куча, А. С. Зиновьев, И. И. Мосалева.

С169**** (Поволжье - Урал, Оренбург, 2001. 6 баллов)

Картина АВ подвешена к вертикальной стене с помощью нити, прикрепленной к гвоздю в стене (О) и к картине в точке D. Определить длину нити OD и расстояние DA, для которых в положении равновесия сила трения обращается в нуль при любом значении угла α . Длина АВ =

2l.

α

С170**** (Поволжье - Урал, Оренбург, 2001. 6 баллов)

Два однородных цилиндра массой m каждый положены на внутреннюю поверхность полого цилиндра. Они удерживают третий цилиндр массы М. Определить зависимость между углами α и β в положении равновесия.

α

β

С171**** (ТИХМ, 1992. 4 балла)

Стороны ромба ABCD, подвешенного в точке А, сделаны из тяжелых однородных стержней, соединенных шарнирно. Середины сторон BC и CD соединены невесомым стержнем-распор-кой, которая фиксирует ромб. Зная вес Р ромба и длины его диагоналей АС = а и BD = b, определить усилие в распорке.

С172 (ТИХМ, 1992. 6 баллов)

В

кривошипно-шатун-

ном

механизме

шатун

выполнен в

виде

прямоугольного

треугольника

АВС

(с

горизонтальным

катетом АС в данном положении), при этом ОА = АВ = r.

30

Зная моменты пар

сил М и

m = M 3 приложенных к кривошипу и

F

шатуну,

определить силу F, направленную вдоль АС и

уравновешивающую механизм.

С173 (ТИХМ, 1993. 4 балла)

Треугольная

пирамида

SABC с

равными ребрами и весом

P расположена так, что ее основание АВС

горизонтально,

а

вершины

В

и

С

закреплены

с помощью

неподвижных

шарниров.

В центре

тяжести

каждой

боковой

грани

приложены силы, равные

по модулю Р и направленные перпендикулярно к

граням

во

внутрь

пирамиды. Какую надо приложить в вершине S

силу F,

параллельную

вектору АВ ,

чтобы

пирамида

находилась в

данном

положении

в

равновесии? Трение в шарнирах не учитывать.

С174 (ТИХМ, 1993. 6

баллов)

Механизм находится

в равновесии под действием моментов М1, М2,

М3, М4 и сил F, Q. Сила F

приложена

в

середине

отрезка

CD

перпендикулярно к нему,

а сила Q приложена в середине DE параллельно

CK; BD = DC = BC = a;

CK = CN. Выразить силу Q через другие силовые

факторы.

Трение

в

шарнирах не учитывать.

		С175 (ТГТУ, 1995. 4 балла)
		На гладкой наклонной плоскости с углом наклона α находятся два груза 1 и 2 друг на
		друге, коэффициент трения скольжения между ними равен f. Грузы соединены нитью,
		перекинутой через неподвижный блок. Вес верхнего тела Р2. Найти вес Р1 нижнего
		тела при равновесии системы.
				С176 (ТГТУ, 1995. 3 балла)
	α	Две однородные балки АС и				BD	с
		весами Р1 и Р2 соответственно
		соединены	шарниром	С	и
невесомым стержнем ЕК с шарнирами на концах, при этом АС = l, BD =						1,5l, AE =
EC = CK = KB и ACB =		60°. Система находится в вертикальной				плоскости
и опирается в точках А и В на шероховатую горизонтальную плоскость с
коэффициентом трения скольжения f. Какую горизонтальную силу Q надо						приложить
в	точке D, чтобы система начала опрокидываться вокруг точки А, а					опора	А
оставалась неподвижной? Найти также усилие S в стержне ЕК в момент						начала
опрокидывания системы.

С177 (ТГТУ, 1995. 5 баллов)

Две прямоугольные однородные плиты Р = 4 кН каждая соединены так, что могут вращаться вокруг неподвижной оси АВ независимо друг от друга, при этом в точке А - неподвижный пространственный шарнир, в точке В - подшипник. Плиты находятся в равновесии с помощью невесомых стержней CD и KL с шарнирами на концах. Плита 1 расположена в плоскости хОz, а плита 2 составляет с ней угол 30°. На плиту 2 действует сила F = 2 кН, приложенная в точке Е и направленная

параллельно оси Оу, и вектор-момент m некоторой пары, направленной по ON и численно равный m = 2 a кНм, а - в метрах.

OA = OB = = AN = BE = AD = OK = OC = a (м), KL - в плоскости уОz и KL OL, OL || AN. Определить величину и характер (растяжение-сжатие) усилий в стержнях CD и KL.

С178 (ТГТУ, 1996. 4 балла)

Три одинаковые трубы радиуса r находятся в равновесии в неподвижно закрепленной трубе радиуса R, располагаясь в два ряда. Все трубы малого радиуса касаются друг друга, при этом трубы нижнего ряда касаются также трубы

большего радиуса. Найти наибольшее значение R, при котором равновесие системы еще возможно.

С179 (ТГТУ, 1996. 3 балла)

Плоский механизм находится в горизонтальной плоскости в равновесии под действием силы F и системы пар сил с моментами M1, M 2 , M 3 , M 4 . Углы указаны на рисунке, размеры звеньев O1A = l, O2 B = 2l, CD =1,5l. Выразить момент M 4

через остальные данные.

30°

С180 ( ТГТУ, 1993. 5 баллов)

2

1

На однородный каток 1 радиуса R и веса Q, связанный с телом 2 нерастяжимой нитью, действует момент М. Коэффициент трения качения равен δ , коэффициент трения скольжения для тела 2 равен f. Каким должен быть наибольший вес P тела 2, чтобы он начал скользить и чему должен при этом быть равен коэффициент трения скольжения для тела 1?

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

С178.

Равновесие трубы 1:

∑X = 0,			N1 cos 60o −N 2 cos 60o = 0;						N1 = N 2 .
∑Y = 0, N1 cos 30o +N 2 cos 30o						−P = 0;		N1	= N 2	= P = N1′.
										3
Равновесие трубы 2:
∑			P sin α−N 3 cos α−N1′ cos(60o +α)= 0 .
	X 1 = 0,
В момент начала раскатывания					N 3 = 0.
		P sin α− P cos(60o +α)= 0 tgα =							3 ,
				3					9
		sin α =	7 ;	R = r +	r		= r(1+2	7 )≈ 6,3r.
			14		sin α

Ответ: Трубы не раскатятся при R < 6,3r.

С179.

Согласно принципа возможных перемещений:

∑δA = 0.

M 1δϕ1 −M 2 δϕ2 + M 3 δϕ3 + M 4 δϕ4 + FδS D = 0.

Тело AB совершает мгновенно-поступательное движение,

δϕ3 = 0.

Мгновенный центр скоростей (МЦС) звена CD расположен в точке D,

δS D = 0.

δS A = δS B = δS C = δS

δS

A

= δϕ l,

δS

B

= δϕ

2

2l,

δS

C

= δϕ

4

3l

;

2

1

M 1

δS

−M 2

δS

+M 4

δS

= 0.

l

2l

1,5l

Ответ :

M 4 =

3 (M 2 −2M 1 ).

4

С180.

Рассмотрим равновесие всей системы:

∑mC = 0; M − N1δ − Fтр 2R = 0;

N1 =Q, Fтр = Pf ; M −Qδ −Pf 2R = 0 P =	M −Qδ		.
		2 fR
∑x = 0; Fтр1 − Fтр = 0; Qf1 −Pf = 0 f1	≥	Pf .
		Q

Ответ: P = (M −Qδ) / 2 fR , f1 ≥ Pf /Q

ОТВЕТЫ

С1.

tg α / 2 ≤ f .

С2. λ = (M ВР cos2 ϕ) /(ca) .

С3. f ≥Q /(P +2Q ) .

С4. Ya = −(P +Q )tgγ / 2 .

С5.

M 2 min = (aM 1 ) /(a sin 2 α+ fr cos α) .

С6. lmax

= 3,3a (1+ f ) .

С7. M = (Pl ) /((cos α + f sin α)cos α) .

С8. Учесть, что точка L - МЦС звена АЕ, точка S - МЦС ползуна в его относительном движении по отношению к звену ОАВ,

К - МЦС ползуна в абсолютном движении.

С9. S = P / 2 . С10. αmax

= 2arctg f .

fO min = fQ1 /(Q1 +Q2 ) .

С11.

m

X

= m A / R + m

2

A

2

/ R

2

; m

Y

= m B / R + m

2

B

2

/ R

2

;

m

Z

= m C

/ R

1

+ m

C

2

/ R

2

, где R =

A2

+ B 2

+C 2 ;

1 1 1

1 1

1

1 1

2

1

1

1

1

R2

= A22 + B22 +C22

. Здесь принято, что векторы m1 и m2 направлены в сторону нормалей соответствующих плоскостей

(вверх). С12. α = arctg ( 3 / 9) .

С13. h ≥ H (1− f 2 / 4) .

С14. DQ(sin α − δ cos α/ R ) / d < P < DQ(sin α + δ cos α/ R ) /d.

С15. ∆l = Q(R + r) /(4c

Rr ) .

С16. Векторы M0, MA, МВ

составляют с плоскостью ХОY одинаковые

углы

α = arccos(V a2 +b2 / 2m ) .

С17. ϕ = ϕ1 = 0 ϕ = ϕ2 = arccos( h / l

1−k ) (при k < 1); положение

Равновесия

ϕ = ϕ

устойчиво в случае, когда оно единственно (при k ≥1− h2 / l2 ),

при

k <1− h2 / l2

устойчиво только

1

положение равновесия ϕ = ϕ2 .

С18. T = P / 2 , q = P / 2R . С19. Fmin

= P / 3

2 . С20.

F ≤ min[f

2

P /(cos α − f

2

sin α),

f

1

(P + P ) /(cos α − f

1

sin α)]. С21. M

o

= 15

Нм .

С22.

M

2

/ M

1

= (b2

− a2 ) /(b2 + a2 ) .

2

1

2

С23. f ≥ tg(α / 2) .

С24. ϕ = 2α−90o

равновесие неустойчивое.

С25. Часть эллипса x2 / a2 +(y −a/2)2 /(a/2)2 =1,

0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a / 2 . С26.

tgϕ = (P1 −P2 )(1+ f 2 ) /((P1 +P2 )(1− f 2 )) −2 f /(1− f 2 ) .

С27. M2 =Pl, RC =2P/ 3 , RD =P 13/ 3 , RE = 0. С28. P = bQ /(b −2 f0 y) . С29. M max =QfR , x A = −4 fQ / π , x B = 2 fQ / π , yA = −2Q / π , yB = 2Q / π . С30. Q = M 2 / 3l . С31. T α = P / 4 + P sin α/ 2π.

С32. F = M

3 / R . С33. M1 = Pl

3 / 2 .

С34. C min

=10 2 Н/см ,

Pmin = 20 H . С35. Pmin =G cos(α+2arctg f ) . С36. 1

случай: а) при 0 ≤ α ≤ 45o

безразличное равновесие; б) при 0 < β < ϕ0 , β = α −45o , ϕ0 = arctg

f - устойчивое равновесие; в)

при β = ϕ0 - неустойчивое равновесие; г) при β > ϕ0

равновесия нет. 2 случай: а) при α < 45o

−ϕ0 безразличное равновесие;

б) при −ϕ0 < β < ϕ0 - устойчивое равновесие; в) при β > ϕ0 равновесия нет. С37. P = G / f , R A = 0

С38. cos α = 2 f /(1+ f 2 )

-

при поступательном движении катка;

cos α > 2 f

/(1+ f

2 )

-

при качении без

проскальзывания.

С39. P =Q 2 sin15o /(1−2 sin15o ) ≈1,073Q .

С40. M

3

= 5( 3 +1)lQ / 6 . С41. f

≥ r / l , G

2

≤ G (Lr / l)( f l − r) /(l2 + r2 ) . С42.

1

λ = 4,5G / c .

С43. ϕ = α ,

N A = P cos α ,

N B = P sin α

С44. sin β = 2Q / P sin α ,

x 0 = (2aPQ cos α − bmQ ) / n ,

y0 = (2bQ2 − bP 2 sin2 α + Pam cos α) / n ,

z0

= P cos α , x D = −(2aPQ cos α−bmQ ) / n ,

yD = (2bQ2 −P2bsin2 α+Pam cosα) / n ,

m =

P 2 sin 2 α −4Q 2 , n = 2bP sin α . С45. S A = 5F / c . С46. N 2 = 2P −36Pl / 25r .

С47. tgαmin

= (m1 +m2 ) /( f (3m1 +m2 )) С48. R = 5M / l . С49. tgϕK

= 2Q / P /(2(n −k ) +1) . С50. tgα > (af1 +bf2 ) / b . С51.

M O R ≠ 0 - система не приводится к равнодействующей, RXZ = M A2 +MO2 / h .

С52. b ≤ 6Rf

/

1+9 f 2 ,

b ≤ 4Ra /

4a2 +h2 .

С53. (P1X +P2X )(b1P1Z −c1P1Y +b2P2Z −c2P2Y )+(P1Y +P2Y )(c1P1X −a1P1Z +c2P2X −a2P2Z ) +(P1Z

+ P2Z )(a1P1Y − b1P1Z ) = 0 . С54. c = mg 2 / l .

С55. T = Mg /

6 . С56. R =4F . С57. x A = 3

2 (P +2Q )ctgα/ 2 , yA = − 2 (P +2Q )ctgα/ 2 , zA = −Q , TCG = (P +2Q ) / sin α,

T DE = 2(P +2Q )ctgα . С58.

f ≥ 3 / 3 . С59.

f min = 0,4 . С60. amin = h / 2 f , Pmin → 0 .

С61. Pmin =G cos α /(sin α+2 f cos α) ,

Pmax

=G cos α /(sin α−2 f cos α) С62. S E = 2,4P ,

S D = 2,1P ,

yA =1,3P , yB =1,2P , P

– вес балки AD. С63. M min

= 0,75Pr . С64. (− fan2 +b) /(n2 −1) ≤ x ≤ ( fan2 +b) /(n2 −1) ,

n >1,

b = a

f 2 n2 +n2 −1 . С65.

ϕ = 45o , ϕ

2

=135o . С66. x

A

= 0 ,

y

A

= −14 Н , M

A

= −32 Hм , R

C

= 2 H . С67. S

1

= S

2

= 0,4 2 кН .

1

С68. Центр тяжести нити переместится вверх (если груз M снять, то нить вернется в свое исходное положение, при этом центр тяжести нити займет более низкое положение, значит под действием груза M центр тяжести нити был поднят вверх). С69. Расстояние пластины от верхней опоры x = (Pl −mg∆2 )∆1 / P(∆1 +∆2 ) . С70. nmin = 9 .

С71. sin α− f cos α ≤Q / P ≤ sin α+ f cos α , tgα = x 0 . С72. QX

= −1,5F . С73. F ≥ P( f +

h(2R −h) /(R −h)) . С74. f = tgα .

С75. y (2R

0

+k

0

(y +y

2

)) =2P l2

−y2

, (R

0

+k

y

2

)(y

−y )) =P

l2 −(y

−y )2 . С76. x

B

= −x

A

=17,2 кН , y

A

= 3 кН ,

1

1

0

1

0

2

1

0

2

1

yB = 9 кН , N C = 6 кН , M C = 89,5

кНм .

С77. sin(ϕ−α) −sin(ϕ+β) > 0 . С78.

y A = 0,5P(1−(a / l )n ) /(1−a / l ) .

С79. b = a

2 / 2 . С80. T = 2P(1−1/ 4n ) / 3 С81. a +b + c = 0 .

n

С82. L = a / 2∑(1/ i) . С83. 1) x > (2 f −1)l /(1+ f ) .

2) f =1, x = l / 2 . С84. xC = 7P . С85. r = 2a

2 −4aP cos ϕ/Q . С86.

i=1

l ≥ (tgα/ f +1)a +2b ,

tgα ≥ f . С87. N =4Q . С88. RA =RB = RC = P /

3 .

С89. Q = P(sin β+ f cos β) /(sin α+ f cos α) . С90. tgα ≤ f , tg α≤δ/ rcosβ. С91.

Pmin

=G tgϕ+Q cosβsin(2ϕ−α) /(cosϕcos(α+β−ϕ)

С92. tgϕ=(1−cosα) /(3π−1,5α+sinα) ,

tgϕ1 = (1−cos α) /(2π−α+sin α) . С93. α < 2arctg

f . С94. F = 3T . С95. sin α = 0,5 ,

T min

= 4Qr / l .

С96.

f1 =

3 −

2

(коэффициент трения между шарами) f2 = (

3 −

2 ) / 4

(коэффициент трения между шаром и опорной

плоскостью). С97. F = (P1 +P2 )cgα . С98. M =

29 Нм . С99. стержень будет находиться в равновесии. С100.

T = Qf /((1− f 2 )cos α + f ) . С101. 1)

r > 0 , tgα = 3πr2 / 4(R 2 +rR +r2 ) ,

(r →R, α→38,1o; r →∞, α→67o; r =2R,

α =53,6o; r =0,5R, α =18,6o ) 2)

r<0, tgα=3πr2 (R +r) / 4(R3 −r3 ) ,

(r →R, α→π/ 2;

r →∞,

α=113o ) С102. cos ϕ = (l +

l2 +32R 2 ) / 8R . С103. P = fQ /(1− f ) .

С104. tgα = af /

l 2 −a2

С105. Не сдвинется. Тележка сдвинется при Fгор ≥ 0,43N .

С106. T

= P / 4 .

С107. h ≤ 0,2 .

С108. Q

min

= P (2a −r −r ) / a . С109. ϕ = arctg (1/ 4 f ) . С110. F = 3P . С111. cos ϕ = 3 a / l ,

N

A

=Qtgϕ ,

N

C

= Q / cos ϕ ,

2

1

2

a ≤ l , QO = P / 2tg 2 ϕ С112. yA = P , x B =3Q ,

yB = P , M B = −6Qa .

С113. tgα ≤ f ,

Qmin =P(sinα cosβ+ f 2 cosα−sin2 α sin2 β) .	С114.	fA ≤ fB < fA +1, M > (PR ( f A + f B )) /(1+ f A − f B ) . С115. Если
f <1/ 2 3 , то равновесие невозможно при любом Q; если 1/ 2				3 < f <1/ 3 , то равновесие будет при
2P / 3 3 ≤ Q ≤ 2 fP /(1 + f 3 ) ; если f ≥1/ 3 , то равновесие возможно при 2P /3 3 ≤Q ≤P / 3 С116.
xA =−2P 2 /9 , yA = −P 2 / 6 , z A = 7P / 9 ,	RC = 2P 3 / 9 ,			N B = P 2 / 6 .
С117. Q = (R(r(cos 30o −sin 30o ) −δsin 30o ) −P δ) / r		, R = P	2	r /( f (0,6r + 2cf ) cos 30 o − 0,5r ) . С118.
	1
tgβ = (2G +Q )tgα/Q . С119. (GR +(G +Q )r −	r2 (G +Q )2 −R 2G(G +2Q ) ) /(G +Q ) .

С120. 1) При вкатывании P = 2453 Н ; 2) При втягивании P = 2874 Н . С121. Q e− f (π / 2+α) ≤ T ≤ Q e f (π / 2+α) . С122. Не

раскатятся, R A =1,384 P , R B = 2,268 P .

С123. Q = Pf cos α/ 2 .

С124. f1 = 0,576, f 2 = 0,812 . С125. m2 = 0,5m1 , линия действия силы F должна пройти через МЦС звена АВ, при АВ = l 2 ,

AK = l, cos ϕ =

0,6 . С126. R

O

= m / 2a, α = 90o . С127. Y

A

= 44 Н ,

X

D

= 32 3 Н . С128. λ = (2m +M )g /(c + c ) . С129.

1 2

T1 = P .

С130. S

6

= 0 .

C131. M > 2PR / 3 . C132. 1) α = 30o , 2) P

=Q /

65 ,

tgβ =1/ 8 , α ≈ 32,7o C133. tgα = 3π p / 8P ,

min

tgβ = 3π p / 8Q .

C134. OO1 / OO2 =1,5 . C135. cos( AOB ) =1/ 4 , cos( AOC ) = −7 / 8 . C136. Pmin = 4Q / 3π(1−cos α) , x B = 4Q / 3π ,

yB = 2(Q +4Q / 3π(1−cos α)) . C137. Q = 2F . C138. 0,17 ≤ M / Pr ≤ 0,83 ,

f ≥ 0,175 . С139. (123456), (123457), (124567),

(234567)

С140.	R = πr2P / sin α cos α , R проходит через точку С на прямой АВ ( R AB ), причем BC = AC tg2α . С141. r ≤ f 2 R .
С142.	sin α− f cos α ≤ P2r /(P1R ) ≤ sin α+ f cos α. С143. h <10δ при f < 0,1 (при f > 0,1 возможно качение и скольжение
одновременно). С144. 1) Раскатятся, 2) При абсолютно твердых трубах и поверхности пола количество труб теоретически
неограниченно велико, 3) Зависит, так как необходимо преодолеть трение качения и трения скольжения в местах контакта

труб, вызванное сопротивлением труб перекатыванию. С145. x A1 = −3

3P / 8 ,

yA1 = P / 8 , x A2

=3

3P / 8 ,

yA2

= −5P / 8 ,

xA3 = 0 ,

yA3

= P / 2 . С146. N A = M /

a2 + b2

,

N B = Ma /(a2 + b2 ) ,

N C = Mb /(a2 + b2 ) . С147.

sin α2

=

1

− f 2

;

α2 ≤ α ≤

π

.

1

+ f 2

2

С148. x B = 2P cos α ;

RE

= Q

+ P sin α ;

zB = Q

+

2 P cos α ; yB = P(sin α −2 cos α );

2

5

2

5

y

A

= P(sin α +2cos α);

z

A

= −

P

(sin α +2cos α) . С149. f ≥ 2 sin ϕ/(π−2 cos ϕ) ;

ϕ = arccos( 2 / π)

( f

min

)

max

= 2 /

π2 −4 .

5

1

С150. R A = P, α = 30o .

С151. FA

= f1P1

f1 (1+ f 2 tgα)

кН .

1+

= 0,238

(1− f1 f 2 ) tg α − f1 − f 2

С152. Т A

= 1 P

,

T B =

1 P,

TC =

5

P . С153. Q3

=12P .

4

3

12

С154. R A =1,09gρl 3 . С155. tg ϕk =

2 Q cos α

.

P(2k −1) −2Q sinα

С156. arctg

1

≤ α ≤ π

;

0 ≤ β ≤

π .

С157.

ϕ = arctg

3 .

2 f

2

2

9

С158. tgδ =

(f 2 −1)(e− fα −e fα )−2 f tgα(e− fα + e fα )

(f 2 −1)tgα (e− fα + e fα )+2 f (e− fα −e fα )

.

С159. ϕ = arccos((1+

51) /10) С160. a / l ≤ 4 f /

1+16 f 2 .

С161. M = Pa / 2 +Q(a −bcos3 ϕ/ 2) . С162. При

f

> δ / r

4(1−δ/ r) ≤ tgα ≤ 4(1+δ/ r) . При f ≤ δ/ r

4(1− f ) ≤ tgα ≤ 4(1+ f ) . С163. x C = 2r cos3 ϕ , yC = r cos ϕ(2 −sin 2ϕ) . С164.

f

=

2 / 5 .

С165. P ≤ Qa / 2h ,

P ≤ Q / 2 ,

P ≤ Qf / 1+ f 2 .

	С166. lmax = 8Rf			/(1+ f 2 ) , f	≥ 2 − 3 . С167. Система сходящихся сил. Из формул равновесия получаются формулы для
	координаты центра масс. С168. x = l / 2 .										С169. l = L / 2 . С170. tgα = M tgβ/(2m +M ) . С171. T = P						b	С172. F = 4M .
																	a
																		r 3
	С173. F = P 6 . С174. Q = 4(M					1	+M		3	−2M		4	+ Fa) / a .С175. P	2	(1−2 fctgα) ≤ P ≤ P (1+2 fctgα) . С176.
		3													1	2
	2P1	+5P2 ≤ Q ≤ (P + P ) f , S =			2		P1	+P			−Q
			1	2									3 .
	6	3					2			2
					3

С177. S1 = 2 кН.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1Зернов Б. С. Сборник задач по теоретической механике. Ч. 1. М-Л., 1980. 172 с.

2Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1986. 448 с.

3	Сборник задач по теоретической механике / Под общ. ред.	Н. А. Бражниченко. М.: Высшая школа, 1986. 480 с.
4	Сборникзадачпотеоретическоймеханике / Подред.	К. С. Колесникова. М.: Наука, 1983. 320 с.

5Файн А. М. Сборник задач по теоретической механике. М.: Высшая школа, 1978. 189 с.

6Будник Ф. Г., Зингерман Ю. М., Селенский Е. И. Сборник задач по теоретической механике. М.: Высшая школа, 1987. 176 с.

7Пятницкий Е. С., Трухан Н. М., Ханукаев Ю. И., Яковенко Г. Н. Сборник задач по теоретической механике / М.:

Наука, 1980. 210 с.

8Попов А. И., Галаев В. И. Олимпиадные задачи по теоретической механике: Учеб. пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос.

техн. ун-та, 2001. 84 с.

9Исмагамбетов М. У., Рощанский В.И. Задачи из конкурсов по основам механики. Акмола: Fылым, 1998. 56 с.

10Сборник конкурсных задач олимпиад по теоретической механике 1987 - 1998 годов с анализом их решений / Под ред. А. В. Чигарева. Минск: Тэхналогiя, 2000. 280 с.

11Финальный отчет по Всероссийской олимпиаде студентов вузов по теоретической механике. Екатеринбург: Изд-во Комитета по делам молодежи при правительстве Свердловской области, 2000. 76 с.

12Методические материалы и конкурсные задачи Межреспубликанской олимпиады "Студент и научно-технический прогресс" по теоретической механике 1992 года. Пермь: Изд-во ПГТУ, 1993. 32 с.

13Методические материалы и конкурсные задачи Всероссийской олимпиады "Студент и научно-технический прогресс" по теоретической механике 1993 года. Пермь: Изд-во ПГТУ, 1994. 26 с.

14Методические материалы и конкурсные задачи Всероссийской олимпиады "Студент и научно-технический прогресс" по теоретической механике 1994 года. Пермь: Изд-во ПГТУ, 1995. 32 с.

15Финальный отчет по Всероссийской олимпиаде студентов вузов по теоретической механике. Екатеринбург: Изд-во УрГСХА, 1996. 56 с.

16Финальный отчет по Всероссийской олимпиаде студентов вузов по теоретической механике. Екатеринбург: Изд-во Комитета по делам молодежи при правительстве Свердловской области, 1997. 68 с.

17Финальный отчет по Всероссийской олимпиаде студентов вузов по теоретической механике. Екатеринбург: Изд-во Комитета по делам молодежи при правительстве Свердловской области, 1998. 72 с.

18Финальный отчет по Всероссийской олимпиаде студентов вузов по теоретической механике. Екатеринбург: Изд-во Комитета по делам молодежи при правительстве Свердловской области, 1999. 90 с.