Глава 2. Эконометрика
В данной главе мы дадим характеристику зависимости размера стоимости потребительской корзины (в процентах) от размера прожиточного минимума (в процентах). Мы располагаем следующими исходными данными:
1997-1998 гг |
X |
Y |
октябрь |
99 |
100 |
ноябрь |
101 |
100,5 |
декабрь |
101 |
100,7 |
январь |
100,7 |
101,1 |
февраль |
100,4 |
100,8 |
март |
100,7 |
100,4 |
апрель |
101,2 |
99,7 |
май |
100,7 |
100,2 |
июнь |
100,2 |
100,3 |
июль |
100,4 |
99,9 |
август |
102,7 |
102,2 |
сентябрь |
122,6 |
114,8 |
октябрь |
103,8 |
104,8 |
ноябрь |
108 |
103,1 |
декабрь |
115,8 |
109,1 |
X – Темп роста прожиточного минимума (в процентах к предыдущему периоду)
Y – Темп роста стоимости потребительской корзины (в процентах к предыдущему периоду)
Мы рассчитаем параметры следующих функций:
Линейная – y= β0+ β1*X+ε
Равносторонняя гипербола - y= β0+ β1*1/X+ε
Полулогарифмическая - y= β0+ β1*ln X+ε
Полукорень - y= β0+ β1*√Х+ε
Степенная - y= β0+Х^ β1*ε
Показательная - y= β0*β1^X+ε
Экспонанта - y= β0*е^ β1*X+ε
Обратная - y=1/ β0+ β1*X+ε
Далее найдем показатели тесноты связи по каждой модели. Затем оценим для каждой модели показатели детерминации, оценим значимость модели при помощи F критерия. Найдем для каждой модели ошибку аппроксимации. И в конце наших расчетов и анализа выберем наилучшую модель.
Линейная – y= β0+ β1*X+ε
Приведем данное уравнение к эмпирическому виду: ŷ =b0+b1*X
b1 |
0,612403126 |
38,89022999 |
b0 |
Sb1 |
0,04006721 |
4,170229913 |
Sb0 |
R^2 |
0,947285781 |
1,002948776 |
S |
F |
233,6127775 |
13 |
n-2 |
Qr |
234,9925521 |
13,0767812 |
Qe |
Запишем эмпирическое уравнение регрессии: ŷ =38.89+0.612*Х
Для оценки тесноты связи найдем коэффициент корреляции:
rx y = 0,97
Можем сделать вывод, что связь обратная, стахостическая (вероятностная), линейная и тесная.
Найдем коэффициент детерминации:
R= rxy^2= 0,947
Изменение размера стоимости потребительской корзины на 94,7% изменением размера прожиточного минимума.
Оценим значимость модели при помощи F критерия:
H0: R=0 α=0,05 (надежность)
Н1: R≠0 n=15; m=2
F= 233,6 > F0,05;1;13=4.67
Связь существует, гипотеза Н1 принимается.
Найдем ошибку аппроксимации:
Ā=1/n*∑│ (YI – ŷi) / YI│* 100%
Ā=0.65%
То же самое проделаем и для остальных моделей.
Равносторонняя гипербола - y= β0+ β1*1/X+ε
b1 |
-7324,522951 |
173,2609168 |
b0 |
Sb1 |
520,969521 |
5,04031346 |
Sb0 |
R^2 |
0,938291222 |
1,08514641 |
S |
F |
197,6669479 |
13 |
n-2 |
Qr |
232,7612778 |
15,30805551 |
Qe |
ŷ =b0+b1*1/X
ŷ =173-7324.52*1/Х
r1/x y=0.969
R= r1/x y^2=0,938
H0: R=0 α=0,05 (надежность)
Н1: R≠0 n=15; m=2
F= 197.67 > F0,05;1;13=4.67
Связь существует, гипотеза Н1 принимается.
Ā=0.72%
Полулогарифмическая - y= β0+ β1*ln X+ε
ŷ =b0+b1*lnX
b1 |
67,11342933 |
-208,9962465 |
b0 |
Sb1 |
4,564339786 |
21,18680925 |
Sb0 |
R^2 |
0,943281869 |
1,040341252 |
S |
F |
216,2036028 |
13 |
n-2 |
Qr |
233,9993044 |
14,07002898 |
Qe |
ŷ =-209+67.1*lnХ
rlnx y=0,971
R= rlnx y^2=0,943
H0: R=0 α=0,05 (надежность)
Н1: R≠0 n=15; m=2
F= 216.2 > F0,05;1;13=4.67
Связь существует, гипотеза Н1 принимается.
Ā=0.69%
Полукорень - y= β0+ β1*√Х+ε
ŷ =b0+b1*√X
b1 |
12,82863266 |
-28,18492776 |
b0 |
Sb1 |
0,854978612 |
8,714073544 |
Sb0 |
R^2 |
0,945409975 |
1,020637476 |
S |
F |
225,1387437 |
13 |
n-2 |
Qr |
234,5272222 |
13,54211114 |
Qe |
ŷ =-28.18 + 12.83 *√Х
r√x y=0,972
R= r√x y^2=0,945
H0: R=0 α=0,05 (надежность)
Н1: R≠0 n=15; m=2
F= 165.44 > F0,05;1;10=6,61
Связь существует, гипотеза Н1 принимается.
Ā=0.67%
Степенная - y= β0+Х^ β1*ε
lnŷ =lnb0+b1*lnX
b1 |
0,630399325 |
1,703219413 |
b0 |
Sb1 |
0,042888174 |
0,199078862 |
Sb0 |
R^2 |
0,94324409 |
0,00977542 |
S |
F |
216,0510377 |
13 |
n-2 |
Qr |
0,020645585 |
0,001242265 |
Qe |
lnŷ =1.7 + 0.63*lnХ
ŷ=e^1.7 *x^-0.63
r lnx lny=0.971
R=0.943
H0: R=0 α=0,05 (надежность)
Н1: R≠0 n=15; m=2
F=216.05 > F0,05;1;10=4.67
Связь существует, гипотеза Н1 принимается.
Ā=0.67%
6) Показательная - y= β0*β1^X+ε
lnŷ =lnb0+X*b1
b1 |
0,005749857 |
4,031884474 |
b0 |
Sb1 |
0,000379389 |
0,039487128 |
Sb0 |
R^2 |
0,946434044 |
0,009496735 |
S |
F |
229,6914583 |
13 |
n-2 |
Qr |
0,020715406 |
0,001172444 |
Qe |
ŷ=e^4,03*(e^-0,006)^X
r x lny=0,973
R= 0,946
H0: R=0 α=0,05 (надежность)
Н1: R≠0 n=15; m=2
F= 229.69 > F0,05;1;10=4.67
Связь существует, гипотеза Н1 принимается.
Ā=0.63%
Экспонанта - y= β0*е^ β1*X+ε
Ln y=ln β0+ β1*X*ln e+ln ε → lne=1 → lnŷ =lnb0+X*b1
Идентично с показательной функцией: lnb0*n+lnb1*∑XI=∑ lnYI;
lnb0*∑XI+ lnb1*∑Xi ^2=∑ lnYI XI.
b1 |
0,005749857 |
4,031884474 |
b0 |
Sb1 |
0,000379389 |
0,039487128 |
Sb0 |
R^2 |
0,946434044 |
0,009496735 |
S |
F |
229,6914583 |
13 |
n-2 |
Qr |
0,020715406 |
0,001172444 |
Qe |
ŷ=e^4,03*(e^-0,006)^X
r x lny=0,973
R= 0,946
H0: R=0 α=0,05 (надежность)
Н1: R≠0 n=15; m=2
F= 229.69> F0,05;1;10=4.67
Связь существует, гипотеза Н1 принимается.
Ā=0.63%
Обратная - y=1/ β0+ β1*X+ε
1/ŷ=b0+X*b1
b1 |
-0.0001 |
0,015385603 |
b0 |
Sb1 |
3,62193E-06 |
0,000376974 |
Sb0 |
R^2 |
0,94486581 |
9,0663E-05 |
S |
F |
222,7883543 |
13 |
n-2 |
Qr |
1,83127E-06 |
1,06857E-07 |
Qe |
ŷ=1/( -0.015 +0.0001*X)
r x 1/y=0.97
R= 0,945
H0: R=0 α=0,05 (надежность)
Н1: R≠0 n=15; m=2
F= 222.79 > F0,05;1;10=4.67 Связь существует, гипотеза Н1 принимается.
Ā=0.62%
Таблица моделей
n |
Тип модели |
R² |
F |
Ā (%) |
Линейная |
ŷ =38.89+0.612*Х |
0,947 |
233,6 |
0.65 |
Равносторонняя Гипербола |
ŷ =173-7324.52*1/Х |
0,938 |
197.67 |
0.72 |
Полулогарифмическая |
ŷ =-209+67.1*lnХ |
0,943 |
216.2 |
0.69 |
Полукорень |
ŷ =-28.18 +12.83*√Х |
0,945 |
165.44 |
0.67 |
Степенная |
ŷ=e^1.7 *x^-0.63 |
0,946 |
216.05 |
0.67 |
Показательная |
ŷ=e^4,03*(e^-0,006)^X |
0,946 |
229.69 |
0.63 |
Обратная |
ŷ=e^4,03*(e^-0,006)^X |
0,946 |
229.69 |
0.63 |
Линейная |
ŷ=1/(-0.015+0.0001*X) |
0,945 |
222.79 |
0.62 |
Составим таблицу для выявления наилучшей модели:
Вывод: Проведя расчеты и анализ, мы можем констатировать то, что зависимость размера стоимости потребительской корзины от размера прожиточного минимума существует и она очень значима и велика.
Самая лучшая модель – это линейная модель, так как там мы получили самый большой коэффициент детерминации (0,947), то есть в данной модели изменение размера стоимости потребительской корзины на 94,7 % объясняется изменением размера прожиточного минимума.
Далее используем критерий Дарбина-Уотсона для проверки гипотезы о наличии автокорреляции в остатках.
где yt+1 и yt — соответствующие уровни динамического ряда.
H0 – в остатках нет автокорреляции;
H1 – в остатках есть положительная автокорреляция;
H*1 - в остатках есть отрицательная автокорреляция.
Из таблицы значений констант Дарбина - Уотсона dU и dL на 5% уровне соответственно равны 1,08 и 1,36. Таким образом, отрезок [0;4] делится на 5 интервалов, и фактическое значение d = 1,95 попадает в интервал между 1,36 и 2,92. Нет оснований отклонять гипотезу H0 (автокорреляция остатков отсутствует).
Коэффициент корреляции Пирсона
Рассчитаем коэффициент корреляции Пирсона, чтобы оценить линейную зависимость между темпом роста прожиточного минимума и темпом роста стоимости потребительской корзины.
Коэффициент корреляции Пирсона рассчитывается по формуле:
где
- средние значения выборок x и y;
- среднеквадратичные отклонения;
− называют также теснотой линейной связи.
, тогда - линейно зависимы.
, тогда - линейно независимы.
rxy = 0,973286073,
что говорит о высокой степени зависимости между данными показателями.
t - критерий Стьюдента
X* = 103,88 ; Y* = 102,51
Вычислим выборочную ковариацию:
K (X;Y) = 1/15 * [ (99-103.88) * (100-102.51) + … + (115.8-103.88) * (109.1-102.51) ] = 25,58
3) Найдем выборочные дисперсии:
D*x = 1/15 * [ (99-103.88)² + (101-103.88)² + … + (115.8-103.88)²] = 41,97
D*y = 3980,81
4) Вычислим выборочный коэффициент корреляции:
r (X;Y) = K (X;Y) / √ D*x* D*y = 25.58/ √41.97*3980.81 = 0,063
5) Вычислим наблюдаемое значение критерия:
tэмп = (r*√n-2) / √1-r² = (0.063*√13) / √(1-0.063)² = 0.23
6) tкр (0,05;13) = 2,16
7) Поскольку, |tэмп| = 0.23 < tкр = 2.16, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу H0: r = 0.
Таким образом, выясняем, что степень зависимости между данными показателями - темп роста прожиточного минимума и темп роста стоимости потребительской корзины – высокая.